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非交换赋值环作为一类重要的环,对非交换环基础理论的发展具有重要的意义.近年来,H.H.Brungs,G.Torner和M.Schroder提出了非交换赋值环的扩张问题.之后,国内外不少数学家对非交换赋值环的扩张问题做了进一步的研究.由于非交换赋值环的扩张问题很复杂,近年来主要的研究对象则趋向于具有良好性质的非交换赋值环的扩张.高斯扩张就是一类具有良好性质的非交换赋值环的扩张.而分次扩张与高斯扩张有一一对应关系,因此我们可以通过研究分次扩张来研究高斯扩张.另外,分次映射的研究和分次扩张的研究有着密切的联系,其本身也有很重要的研究价值.令Q为有理数域,Aut（K）是除环K的自同构群,σ为Q（n）到Autt（K）的群同态,K[Q（n）,σ]为Q（n）上的斜群环,V是K的全赋值环.假设K[Q（n）,σ]有左商环K[Q（n）,σ]本文主要研究的是Q（n）上的分次映射与对应的分次扩张.首先我们对Q（n）上的分次映射进行完全刻画,.然后将讨论K[Q（n）,σ]上对应的分次扩张.本文分为五个部分,第一部分是引言,第二至第四部分为文章的主体部分,最后部分是结束语.在引言部分,介绍了本文的研究背景和意义以及本文的主要研究成果.第一章对Q上的分次映射与K[Q,σ]上的（e）类分次扩张进行了完全刻画.主要结果有：定理1.5,定理1.10.定理1.5证明了{fd,fd（1）,fd（-1）▕d是一个实数}是Q上所有的分次映射的集合.定理1.10给出了K[Q,σ]上的（e）类分次扩张的刻画：设W是V上的扩环且W的Jacobson根J（W）=b-1W,b∈K,A=（?）r∈QArXr是K[Q,σ]的子集且Ao=V.则A是V在K[Q,σ]上的（e）类分次扩张当且仅当对任意的r∈Q,存在α,∈K,及一个非零分次映射f,满足：War（as）σ（r）=War+s（（?）r,s∈Q）,且War=ar（W）σ（r）,WAr=Wbf（r）ar（（?）∈Q）并且下面的一个条件被满足：（1）若W=V或者f（r）+f（-r）=-1（（?）r∈Q,r≠0）,则A=（?）r∈QWbf（r）arXr（2）若W≠V且存在α∈Q+,满足f（α）+f（-α）=0（设α是满足这个条件的最小正数）,则Ar=Wbf（r）ar（（?）r（?）aZ）,且B=（?）j∈zAjaXja是V在K[Xa,X-a,σ（a）]上满足条件Wbf（ja）-1aja（?）Aja(?Wbf（ja）aja（（?）j∈Z）的分次扩张.本章的研究结果已经在《广西师范大学学报》发表（2010,28（2）：42-46）.第二章对Q（2）上的分次映射进行了刻画,并讨论了K[Q（2）,σ]上分次映射对应的分次扩张.假设c,d∈R,h是Q（2）上的一个分次映射,且对任意的i,j∈Q,令h（i,0）=fc*（i）,h（0,j）=fd*（j）这里R是实数域,fc*∈{fc（1）,fc（-1）},fc#∈{fc（1）,fc（-1）}.本章对Q（2）上的分次映射分以下几种情形进行了讨论：（a）c,d∈Q.（ⅰ）对于任意的i,j∈Q,有h（i,0）=fc（i）,h（0,j）=fd（j）（ⅱ）对于任意的i,j∈Q,有h（i,0）=fc（i）,h（0,j）=fd#（j）.（ⅲ）对于任意的i,j∈Q,有h（i,0）=fc#（i）,h（0,j）=fd（j）.（ⅳ）对于任意的i,j∈Q,有h（i,0）=fc#（i）,h（0,j）=fd#（j）.（b）c∈R\Q或者d∈R\Q.由于情形（ⅱ）和情形（ⅲ）类似,因此只讨论了情形（ⅱ）.本章的主要结果有：定理2.3,定理2.8,定理2.9,定理2.12.定理2.3给出了Q（2）上的分次映射属于情形（ⅰ）时的刻画方式.定理2.8给出了Q（2）上的分次映射属于情形（ⅱ）或（ⅳ）或（b）时的刻画方式.定理2.9给出了Q（2）上的分次映射属于情形（ⅱ）或（ⅳ）或（b）时的另外一种刻画方式.定理2.12给出了K[Q（2）,σ]上分次映射对应的分次扩张的刻画：设W是V的扩环且J（W）=b-1W,b∈K,A=（?）u∈Q（2）AuXu是K[Q（2）,σ]的子集且A（0,0）=V,h是一个非零分次映射.则A是V在K[Q（2）,σ]上h对应的分次扩张当且仅当对任意的u∈Q（2）,存在αu∈K\{0},满足：Wαu=αu（W）σ（u）,WAu=Mbh（u）αu Wαu（αu）σ（u）=Wαu+u并且下面的一个条件被满足：（1）若W=V或者h（u）+h（-u）=-1（（?）u∈Q（2）,u≠（0,0））,则Au=Wbh（u）αu（2）若W≠V且存在u0∈Q（2）\{（0,0）}满足h（u0）+h（-u0）=0,则当h（u）+h（-u）=-1时,有Au=Wbh（u）αu,并且B=（?）u∈sAuXu是V在K[S,σ]上满足条件Wbh（u）-1αu（?）Au（?）Wbh（u）αu的分次扩张.这里S={u▕h（u）+h（-u）=0}.第三章对Q（n）上的分次映射进行了刻画,并讨论了K[Q（n）,σ]上分次映射对应的分次扩张.假设ci∈R,h是Q（n）上的一个分次映射,且对任意的r∈Q,令h（0,…,0,r,0,…,0）=龙（r）.其中（0,…0,r,0,…0）的第i坐标为r,其余坐标为0（i=1,2,…n）.本章对Q（n）上的分次映射分以下三种情形进行了讨论：（a）对任意的i,有ci∈Q且fci*=fci（b）对任意的i,有ci∈Q且存在i,使得fci*=fci（?）.（c）存在i,使得ci∈R\Q.本章的主要结果有：定理3.3,定理3.11,定理3.14,定理3.17.定理3.3,3.11,3.14分别给出了Q（n）上的分次映射属于情形（a）,（b）,（c）时的刻画方式.定理3.17给出了K[Q（n）,σ]上分次映射对应的分次扩张的刻画：设w是V的扩环且J（W）=b-1W,b∈K,A=（?）u∈Q（n）AuXu是K[Q（n）,σ]的子集且A（0,0,..,0）=V,h是一个非零分次映射.则A是V在K[Q（n）,σ]上h对应的分次扩张当且仅当对任意的u∈Q（n）,存在αu∈K\{0},满足：Wαu=αu（W）σ（u）,WAu=Wbh（u）αu, Wαu（αu）σ（u）=Wαu+u并且下面的一个条件被满足：（1）若W=V或者h（u）+h（-u）=-1（（?）u∈Q（n）,u≠（0,0,…,0）,那么Au=Wbh（u）αu.（2）若w≠V且存在u0∈Q（n）\{（0,0,…,0））满足h（u0）+h（-u0）=0,则当h（u）+h（-u）=-1时,有Au=Wbh（u）αu并且B=（?）u∈SAuXu是V在K[S,σ]上满足条件Wbh（u）-1αu（?）Au（?）Wbh（u）αu的分次扩张.这里s={u▕h（u）+h（-u）=0}.最后部分是结束语,总结了本文的有关的主要工作,并且对下一步的研究工作做了一些设想.