固体断裂是工程和技术领域的重要问题，裂纹的产生与扩展的真实情况至今还不清楚，研究固体材料的断裂机理有重要意义；有限元法是工程界广泛应用的一种数值计算方法，研究断裂力学问题的有限元解法有重要的实际意义。本文的目的就是研究固体材料裂纹产生与扩展的物理机制，并研究有限元法在断裂力学中的应用。 裂纹的产生来源于材料的微观损伤，而微观损伤往往由晶粒间的缺陷引起。固体材料微观缺陷的产生，导致微裂纹的形成，进而发展成宏观裂纹，这是一个复杂的物理过程，又遵循一定的物理规律。裂纹的有限元计算因为尖端部位复杂的应力应变关系，需要构造特殊的奇异单元；而新发展的扩展有限元法基于单位分解法通过引入不连续的形状函数，从而使得几何网格划分更加简单，并应用水平集法跟踪裂纹的生长，从而避免了不断更新网格的麻烦。 本文从位错动力学理论开始，从位错尺度以及空穴尺度考察了固体损伤的微观机制，进而研究了从位错损伤到空穴扩张过程的能量释放与转换的热力学规律，提出应用能量方法统一解释断裂力学问题的研究思路。根据有限元法的基本原理构造了裂纹尖端的奇异性单元，分析了有限元法求断裂力学问题的基本方法。本文着重应用扩展有限元法来求解断裂力学问题，根据扩展有限元法的理论来源，详细推导了扩展有限元法求解应力强度因子的方法步骤，并分析了其运算流程。 位错损伤与空穴生长的研究表明，位错的存在和运动是构成材料微观损伤的重要因素，而空穴的形核、生长与聚合直接导致韧性材料微观裂纹的形成，并导致韧性断裂。对裂纹产生过程的热力学研究表明，固体断裂符合一定的热力学规律，是一个统一的能量过程。通过构造奇异单元，可以实现对裂纹尖端区域的有限元模拟，应用ANSYS可计算出应力强度因子。扩展有限元法研究表明，对裂纹等不连续问题，可以通过Heaviside函数与裂纹尖端改进函数进行节点自由度改进，从而实现对网格划分与数值计算的优化，两个算例表明计算效果比较好。 本文从理论与数值计算方法上研究了固体材料的断裂问题，为进一步研究奠定了基础。