本文的主要研究内容是在空间Lp(x)和Wk,p(x)的基本理论体系的基础上,研究p(x)-Laplacian问题解的存在性.近十年来,随着弹性力学的发展,带有非标准增长条件的p(x)-Laplacian方程越来越引起人们的研究兴趣,它有着非常重要的物理背景.由于Laplace方程和p(x)-Laplacian方程的研究方法己经不再适用于p(x)-Laplacian方程,所以目前对于p(x)-Laplacian方程的研究只有很少的研究成果出现,因此对这类问题的研究具有广泛理论与实际意义,对p(x)-Laplacian问题的研究,有很多不同的方法.近期,临界点理论似乎成为解决偏微分方程问题的一个非常有用的工具.利用这个工具可以成功地解决不少偏微分方程解的存在性问题,尤其是具有非标准增长条件的Laplacian问题.在本文中,我们对p(x)-Laplacian方程的研究是建立在广义Lebesgue空间和广义Sobolev空间的基础上的,广义Lebesgue空间和广义Sobolev空间的基本理论和定理为变指数问题和带有非标准增长条件的椭圆型方程的研究提供了重要的理论框架.在研究的过程中,我们主要利用了广义Sobolev空间的嵌入定理和其他一些性质,对如下p(x)-Laplacian方程的弱解的存在性进行了研究.这里Ω∈RN为具有光滑边界Ω的有界区域.本文运用了临界点理论得出如下结果:当方程组满足一定条件时,p(x)-Laplacian问题存在非平凡弱解.