分数阶偏微分方程相较于整数阶偏微分方程在模拟异常扩散运动或长程空间相互反应和记忆效应等具有挑战性的现象中提供了更为有效的模型[57,60,68],并引起了广泛的研究(see,e.g.,[7,16,17,21,22,28,35,36,38,39,47,56,75,86]).文献中的大多数工作都集中在利用分数阶偏微分方程来模拟异常扩散运动,包括次扩散运动和超扩散运动或两者的结合。对于一维时空分数阶对流方程来说,Meerschaert在文章[59]证明了通过直接截断Grunwald-Letnikov分数阶导数得到的时空分数阶对流方程的隐式差分逼近是不稳定的。其原因是数值近似只需左边界条件即可唯一确定数值解,而连续问题的解析解需要由区间两端的边界条件唯一确定。与分数阶扩散问题不同,在两个边界条件产生的锋面相对移动的意义下,双边分数阶对流问题的两个边界条件是相互抵消的,就像整数阶对流扩散方程的拐点问题一样。这种现象使得数值计算方面存在一些困难,如假振荡、低振荡、超振荡以及其他数值计算困难等。基于这些考虑,我们遵循[50,99,100,101,103]中的思想,构造了一种空间分数阶和时空分数阶对流方程的满足保界性质的数值方法,使得所得到的数值近似能够消除假振荡和低振荡、超振荡现象。由于分数阶微分算子包含具有奇异性的积分算子,空间分数阶偏微分方程的数值方法通常产生稠密或满的刚度矩阵,此外,由于时间分数阶偏微分方程的记忆效应,时间分数阶偏微分方程的数值离散产生的数值格式包含了所有历史时间步的数值解。因此,计算量和存储量的显著增加使得分数阶偏微分方程模型的实际应用非常困难。针对空间分数阶导数采用坐标方向形式的多维空间分数阶偏微分方程的数值格式,利用其刚度矩阵的类Toeplitz结构和刚度矩阵的张量积结构,提出了一种快速数值方法,该方法在每次Krylov子空间迭代中将存储量从O(N2)降低到O(N),计算量从O(N3)降低到O(N log N).一般情况下,分数阶偏微分方程的空间导数采用分数阶方向导数形式。而分数阶方向导数形式的分数阶方程的数值方法产生的刚度矩阵比坐标形式的相应的刚度矩阵在结构上要复杂得多。换句话说,空间分数阶方向导数偏微分方程模型比坐标形式的空间分数阶偏微分方程模型在物理上更具一般化,更难处理。本文结构如下:第一章简要介绍了分数阶导数算子的历史和一些基本定义。然后给出了与本文的快速算法相关的一些特殊矩阵。第二章和第三章分别阐述了一维空间分数阶及时空分数阶偏微分方程和二维空间分数阶及时空分数阶偏微分方程的显式有限差分方法,证明了它的保界性质和误差估计。并且提出了该格式的一种快速实现方法,可以显著降低计算量和存储量。同时利用数值实验来证实理论分析的结果及快速实现的性能。第四章分析了包含空间分数阶方向导数的时空分数阶偏微分方程的一种快速Galerkin有限元方法,证明了该方法的误差估计。并给出了快速数值实现方法,这种方法大大降低了计算过程中每次迭代的计算量,从O(MN3+M2N)降低到O(MN log(MN)).此外,快速实现将存储量从O(MN2)降低到O(N log M).通过数值实验,本文验证了该章理论分析的正确性,并对快速实现的性能进行了研究。