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2002年,Fomin和Zelevinsky在文[FZ1,FZ2]中引入了cluster代数的概念,用来研究量子群的典范基和代数群的整体正性之间的联系.这种理论很快就和数学中的许多分支产生了密切的联系(参见[FZ3]).特别是近几年,cluster代数及其组合理论给有限维代数表示理论带来了很大的影响.文[BMRRT]引入了cluster范畴和cluster倾斜理论的概念,成为更好的理解Fomin和Zelevinsky的cluster代数的一个范畴化模型.设 H是代数闭域上的有限维遗传代数,Db(H)是H的有界导出范畴,cluster范畴 l(H)定义为轨道范畴 Db(H)/τ-1[1],其中τ是 Db(H)中的Auslander-Reiten变换,[1]是 Db(H)中的平移函子.Cluster范畴 l(H)中的cluster倾斜对象与cluster代数的cluster一一对应.
Cluster范畴的cluster倾斜理论完善了有限维代数表示理论中的经典倾斜理论,cluster倾斜对象的自同态代数称为cluster倾斜代数.近年来,对这一类代数的大量研究表明,它们具有很多好的性质,例如这是一类非平凡的1-Goreustein代数.参见文[BMR1,BMR2,ABS1,KR1].
在Dynkin型cluster范畴和cluster倾斜代数方面,P.Caldero,F.Chapoton和R.Schiffler在文[CCS1]中建立了 An型 cluster范畴的几何模型,为我们研究 cluster范畴提供了-个新的思路.随后,R.Schiffler在文[Sch]中构造了 Dn型 cluster范畴的几何模型.
作为cluster范畴的推广,H.Thomas在文[Th]引入了 m-cluster范畴的概念.m-cluster范畴 lm(H)定义为轨道范畴 Db(H)/τ-1[m].随后,m-cluster倾斜对象和m-cluster倾斜代数也被引入.若m-cluster范畴 lm(H)上的一个对象 T满足以下条件:
·Hom lm(H)(T,X[i])=0,1≤i≤m,当且仅当 X∈add(T),
·Hom lm(H)(X,T[i])=0,1≤i≤m,当且仅当 X∈add(T),则称 T为m-cluster倾斜对象.m-cluster倾斜代数End lm(H)(T)op为m-cluster倾斜对象 T的自同态代数.在这方面的研究,参见文[BaM1,BaM2,HJ1,HJ2,KR1,KR2,IY,P,Wr,Zh3,ZZ].
本文分两部分:第一部分,我们研究了 Dn型 cluster倾斜代数,分类了所有的Dn型 cluster倾斜代数的箭图,并给出了两个 Dn型 cluster倾斜代数同构的充要条件.第二部分,我们研究了 An型 m-cluster倾斜代数,给出了 An型 m-cluster倾斜代数连通的充要条件,进-步得到了两个连通的An型 m-cluster倾斜代数同构的充要条件.
第一章给出引言和预备知识.介绍了与本论文有关的基本概念和结果,并阐述了论文的工作背景和思路.
第二章利用 R.Schiffler在文[Sch]构造的几何模型进-步对 Dn型 cluster倾斜代数进行研究.首先,我们给出了穿刺多边形 Pn中由标记弧构成的三角的等价分类.进-步,我们得到了Dn型箭图的mutation等价类和所有的Dn型 cluster倾斜代数的箭图,并且我们还给出了它们的关系理想.最后我们给出了两个 Dn型 cluster倾斜代数同构的充要条件.主要结果如下:
定理2.2.5.箭图 Q是 Dn型cluster倾斜代数的箭图当且仅当箭图Q属于2.2节描述的四种类型中的一种.
定理2.3.1.设T和T是 Dn(n≥5)型cluster范畴 l(H)中的两个cluster倾斜对象,Γ=End l(H)(T)op与Γ=End l(H)(T)op是相应的cluster倾斜代数.则Γ和Γ’同构的充要条件是存在整数i和j使得 T=τiT或 T=στjT,其中τ是Auslander-Reiten变换,σ是l(H)的-个自同构函子(σ的定义见2.3节).
第三章,我们利用 K.Baur和R.Marsh建立的An型 m-cluster范畴的几何模型进-步对 An型 m-cluster倾斜代数进行研究.我们讨论了由 m-cluster倾斜对象构成的倾斜图的连通性,给出了 An型 m-cluster倾斜代数连通的充要条件,并且还证明了两个连通的An型 m-cluster倾斜代数同构的充要条件.主要结果如下:
定理3.2.7.设Ⅱ是(n+1)m+2多边形,∑m是由Ⅱ中的m-对角线分割构成的m-mutation无向图.则∑m是连通的.即:An型 m-cluster范畴的倾斜图是连通的.
定理3.2.9.设 T是An型 m-cluster范畴中的一个cluster倾斜对象,B=End lm(H)(T)op是相应 m-cluster倾斜代数.则 B是连通的充要条件是对 T中任意一个不可分解直和项 M都存在 T中的另-个不可分解直和项 N使得 M和 N在同一个ray或coray中.
定理3.2.10.设∑m是由 An型m-cluster范畴中连通的m-cluster倾斜对象构成的倾斜图,则∑m是连通的.
定理3.3.3.设T和 T是 An型 m-cluster范畴 lm(H)中的两个连通的m-cluster倾斜对象,B=End lm(H)(T)op与 B’=End lm(H)(T)op是相应的m-cluster倾斜代数.则 B和 B同构的充要条件是存在整数i使得 T=T[i]其中[i]是平移函子[1]的i次幂.