磁共振成像（Magnetic Resonance Imaging,MRI）是现代医学诊断的重要技术之一。因其无辐射、无电离的特性,并能提供丰富解剖信息的能力,MRI在医学领域得到了广泛应用,是医学研究领域重点关注的问题。通常,不完备信号下的MRI成像问题可以归结为数学中的不适定方程求解。传统方法获得的重建图像一般很难达到医学诊断需要。随着压缩感知理论的逐渐成熟,研究表明借助稀疏正则化理论和快速优化算法能实现MRI图像的高质量快速重建,进而改进医疗仪器成像性能,实现医疗设备的升级更新。因此,研究不完备信号下MRI重建稀疏模型,构建快速有效的优化算法对改进完善医疗仪器具有重要意义。本文主要从提高MRI仪器对不完全信号的处理能力来提高其性能。基于图像信号的稀疏性,传统稀疏凸正则化模型是一种有偏估计会影响图像的精度,为减少偏差,本文主要利用非凸函数构建新的MRI重建模型并设计相应快速求解的优化算法,通过峰值信噪比和结构相似性等量化指标对新方法进行衡量,具体如下:第一,在欠采样磁共振成像问题中,首先通过引入SCAD非凸罚函数替代传统TV正则项,建立一个非凸模型,该模型能有效进行数据拟合,且在选择适当的参数下能够保持目标函数的整体凸性。随后利用变量分离ADMM框架建立对称步长加速算法。数值实验显示新方法具有良好的收敛性,且在采样率较低的情况下实现了高质量的图像重建。第二,受上述思想的启发,利用Arctangent函数构建新的稀疏模型,该模型具有“非凸—保凸”的性质,这一性质为设计算法提供了便利。利用ADMM框架建立模型的求解结构,子问题的求解中借助邻近算子建立快速求解算法。在图像去模糊和磁共振成像实验中,新方法表现出良好的实验效果。新方法的PSNR和SSIM较现有方法有大幅度提升。第三,在并行MRI成像研究中,借鉴对称步长思想,提出一个加速成像的新方法,算法中子问题更新引入对称步长思想,迭代步长采用修正BB方法促进算法加速。理论上分析了方法的收敛性,数值实验表明方法有效,且修正的步长确保了数值的稳定性。第四,在动态MRI成像研究中,通过MC函数替代传统的核范数提高模型的拟合度。在模型的求解中引入TV对偶技巧,通过分裂思想建立模型的求解框架,子问题的计算中通过邻近算子设计快速的求解算法。在数值实验中,通过不同的欠采样模板对不同的动态MRI数据进行实验,结果显示新方法在CPU运行时间、迭代次数、重建效果上都得到了改进。第五,MRI图像传输/存储中会受脉冲噪声污染,利用Log函数和SCAD函数建立脉冲噪声图像去模糊数学模型,模型由SCAD函数为数据拟合项,Log TV为正则项。新稀疏模型拟合性能较传统TVL1模型有明显提高,其对强噪声与异常值有较强的抑制能力。设计了具有理论收敛的ADMM算法,子问题的求解中通过添加邻近项提高算法的效率。在不同噪声与模糊组合的实验中,新方法对MRI图像去噪效果明显优于传统方法,并显示出良好的高脉冲噪声处理潜质。