【摘 要】
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本文研究了几类趋化模型解的整体有界性和有限时刻爆破,同时也研究了趋化相关的相互作用泛函的极小化问题.本文主要内容包含五个部分:第一章主要介绍了趋化模型和相关的相互作用泛函的的背景以及国内外的研究现状,同时简要陈述了本文的主要工作和创新点.在第二章中,我们研究了带非线性趋化灵敏度和信号产物的趋化模型的齐次Neumann边值问题,其中BR（0）（?）Rn,n≥ 1以及R＞0,μ（t）=1/（|BR（0
【基金项目】
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国家自然科学基金面上项目（No.11671079,11871147,11871148）；
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本文研究了几类趋化模型解的整体有界性和有限时刻爆破,同时也研究了趋化相关的相互作用泛函的极小化问题.本文主要内容包含五个部分:第一章主要介绍了趋化模型和相关的相互作用泛函的的背景以及国内外的研究现状,同时简要陈述了本文的主要工作和创新点.在第二章中,我们研究了带非线性趋化灵敏度和信号产物的趋化模型的齐次Neumann边值问题,其中BR（0）（?）Rn,n≥ 1以及R＞0,μ（t）=1/（|BR（0）|）∫BR（0）g（u）dx.我们证明了当f（ξ）≥Kξk,g（ξ）≥Lξl,k+l-1＞2/n时,该模型存在有限时刻爆破的解,当f（ξ）≤Kξk,g（ξ）≤Lξl,k+l-1＜2/n时,模型具有整体一致有界的解.第三章研究了具有旋转趋化灵敏度的趋化模型的齐次Neumann边值问题,其中Ω （?）R2为有界光滑区域,（?）,θ∈（-π/2,π/2）.对于上述问题,我们证明了:·设Ω是一般有界区域,（ⅰ）当m＞8π/cosθ时,存在非负初值u0满足∫Ωu0dx=m,使得该问题存在有限时刻爆破的非径向解,且爆破点落在Ω内.（ⅱ）当（?）Ω包含一条线段且m＞4π/cosθ时,存在非负初值u0满足∫Ωu0dx=m,使得该问题存在有限时刻爆破的非径向解,且爆破点落在（?）Ω上.·设Ω=BL（0）,（ⅰ）当初值u0是非负径向对称且满足∫Ωu0dx＜c8π/cosθ时,该问题的径向解整体存在.（ⅱ）当初值u0是非负径向对称且满足∫Ωu0dx＜4π/cosθ时,该问题的径向解整体有界.第四章研究了带外生位势相互作用泛函E[ρ]=1/2∫RN∫RK（x-y）ρ（x）ρ（y）dxdy+∫RNF（x）ρ（x）dx的极小化问题,其中N≥ 1,内生位势K（x）=1/q|x|q-1/p|x|p,q＞p＞-N,外生位势F是非负的连续函数并且满足当|x|→+∞时,F（x）→∞.本章通过证明极小化序列的紧性和能量泛函的弱下半连续性得到了极小化函数的存在性.特别地,当F（x）=β|x|2,K（x）=1/2|x|2-1/（2-N）|x|2-N时,我们给出了极小化函数的显式表达式.第五章研究了带非线性扩散和外生位势相互作用泛函E[ρ]=∫RN1/a-1ρa（x）dx+1/2∫RN∫RNK（x-y）ρ（x）ρ（y）dxdy+∫RNF（x）ρ（x）dx的极小化问题,其中N≥ 1,a＞1,K（x）=1|x|q-1/p|x|p,q＞p＞-N,F ∈ Lloc∞（RN）是一个非负函数且满足当R→+∞时,‖F‖L∞（BR（0））→+∞.我们分析了能量泛函极小化函数的存在性;此外当q=2,p=2-N且F是幂函数时,我们找到了极小化函数的显式表达式.
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