本论文研究了一类带有小参数λ的Hamilton系统,其Hamilton函数为H(x,y,λ)=y2+1/4 x4?1/2x2+λ(x3+y3)在小扰动下的极限环个数问题。当参数λ=0时,该系统的Hamilton函数的水平集为H(x,y,0)=y2+1/4x4?1/2x2=h,它是一族闭轨当且仅当h∈(?1/4,0)∪(0,+∞)。当h=?1/4时,此水平集对应于该Hamilton系统的两个初等中心(?1,0)和(1,0)。我们考虑当参数λ满足0<??λ?1时,这个带有参数λ的Hamilton系统在三次多项式?小扰动下邻近这两个初等中心的极限环分支问题。通过计算该扰动系统一阶Melnikov函数关于λ的渐近展开式，借助韩茂安老师文献[12]中的方法,我们得到渐近展开式前两项的函数表达式M0(h)，M1(h).通过细致分析M0(h)，M1(h)在h=?1/4小邻域内的性质,当λ非常小时,可以得到一阶Melnikov函数在h=?1/4小邻域内至少存在五个零点以及相应的分布情况,从而,当?很小时，根据后继函数的性质及隐函数定理得到该扰动系统在中心点附近可存在五个极限环,其中4个在系统˙x=2y,˙y=x?x3的中心点(1,0)附近，另一个在中心点(?1,0)附近。