【摘 要】
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本文主要研究关于非平凡群上的笛卡尔分解和拉丁立方体的问题.通过对集合上的划分格及笛卡尔结构问题的研究,得到了一般群G上关于右陪集划分构成的笛卡尔分解的一些结论.在此基础上,对拉丁立方体的笛卡尔分解和拉丁立方体的正则性进行研究,得到阶至少为4的非正则的型（LC2）的拉丁立方体总是存在的.最后,通过对非平凡群Tm上的m维笛卡尔格的研究,得到了一些关于对角半格的结论,本文利用这些结论证明了文献[5]中命
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本文主要研究关于非平凡群上的笛卡尔分解和拉丁立方体的问题.通过对集合上的划分格及笛卡尔结构问题的研究,得到了一般群G上关于右陪集划分构成的笛卡尔分解的一些结论.在此基础上,对拉丁立方体的笛卡尔分解和拉丁立方体的正则性进行研究,得到阶至少为4的非正则的型（LC2）的拉丁立方体总是存在的.最后,通过对非平凡群Tm上的m维笛卡尔格的研究,得到了一些关于对角半格的结论,本文利用这些结论证明了文献[5]中命题5.1的（a）（本文定理1.6）及命题5.6的（a）,（b）（本文定理1.7）.主要结论如下:对于子群的右陪集构成的划分,我们有如下的定理和推论:定理1.1.设G是一个群,H≤G,K ≤G,则{PH,PK}是一个笛卡尔分解当且仅当H K=G,H∩K=1.推论1.2.设G是一个群,H≤G,K≤G,则PH=PK当且仅当H=K.对于群T,|T|=n,用T3标记立方体的单元格,令群G={[t1,t2,t3]|t1,t2,t3∈T},设G的子群H=δ（T,3）={[t,t,t |t∈T}.群K1={[1,t2,t3]|t2,t3∈T},K2={[t1,1,t3]|t1,t3∈T},K3={[t1,t2,1]|t1,t2∈T}群是H在群G中的三个补,则有PH是群G上的拉丁立方体的字母的划分.由此我们有如下推广:定理1.3.设G是一个阶为n3的有限群,H是G的阶为n的子群,Ki是H在G中的三个补,其中i=1,2,3,且Ki ∩ K2∩K3={1},则H的右陪集构成的划分可以构成G上的某个拉丁立方体的字母的划分.定理1.4.总存在阶至少为4的非正则的型（LC2）的拉丁立方体.通过对笛卡尔分解和笛卡尔格的研究,本文得到以下主要结论:定理1.5.设{P1,P2}和{P1,P2’}是集合Ω的两个笛卡尔分解,且P（?）P2’,则P2=P2’.定理 1.6.设 T 是一个群,Ω=Tm,T0={[t,t,…,t]|t∈T},Ti={[1,…,1,ti,1,…,1]|ti∈ T},i=1,2,…,m,其中Qi是子群Ti的右陪集构成的划分,则集合{Q0,Q1,…,Qm}在对角群D（T,m）的作用下是不变的.定理1.7.设P是Ω的划分的集合,且Q是P中的一个极小非平凡划分.（a）如果P是一个m维笛卡尔格,则P//Q是一个m-1维笛卡尔格.（b）如果P是由一个m维特殊集Q生成的并半格,且Q∈Q,则P∥Q是由一个m-1维特殊集生成的.
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