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设G是一个有限群，πe(G)表示群G的元素阶的集合；mi(G)=｜g∈G｜o(g)=i}｜表示G中i阶元的个数，简记为mi；p(G)=(m1，…，mk，…ms)表示G的阶型；nse(G)={mi｜i∈πe(G)}表示G的元长之集合。
考虑群的数量关系对有限群结构的影响是有限群论中一个重要课题．许多群论工作者在这方面做了大量的工作．如著名的Sylow定理．Lagrange定理．Burnside定理等．1987年施武杰教授提出了单群的纯数量刻画：仅用有限群元素阶的集合和有限群的阶来刻画有限单群。
J．G．Thompson教授在给施武杰教授的一封信中提出了下面一个问题：Thompson问题：设G1与G2为同阶型的有限群，若G1可解，G2是否可解? 一些群论工作者从群的最高阶元的个数出发来研究有限群，侧面对Thompson问题进行了研究，得到了一些令人鼓舞的结果(参见文献[10]，[11]，[12]，[13]，[14])，但是，至今没有人对J．G．Thompson猜怨给出证明、也没有可以举出反例．可见Thompson问题的解决是相当困难的。
本文首先讨论了与同阶型群相关的另一个问题．怎样的群可由其阶型唯一确定?进一步容易看出若G1与G2为同阶型的有限群，必有nse(G1)=nse(G2)．但反之不一定成立．故作者又用数量集合nse(G)对有限群G进行了初步研究．主要结论如下：
定理1.1：设G为有限群，H为23p阶群，p为奇素数，则G≌H的充要条件是p(G)=p(H)。
定理2.1：设G是具有循环极大子群的pn阶群，其中p为素数，H为群。则：(1)当G≠G2，G3，G6时，H≌G的充要条件是p(H)=p(G)．(2)当G=G2，G3或G6时，若p(H)=P(G)，则H≌G2，G3或G6。
定理3.1：设M为群，G为2qp阶群，其中q＜p为不同的奇素数．则M≌G的充要条件是p(M)=p(G)。
定理3.2： M为群，则M≌A5的充要条件是p(M)=p(A5)。
定理4.3：设G为群，nse(G)={1，2，3，2p}，其中p为奇素数，则G≌Z6×Z2。