本文着重研究黎曼子流形上整体几何与几何分析的若干问题，主要内容包括子流形的同调群消没定理、拓扑球面定理、L<2>调和1-形式、端的有限性和Laplace算子谱等问题. 1973年，H.B.Lawson和J.Simons运用Federer-Fleming存在性定理[19]和几何测度论中变分技巧证明了单位球面中紧致黎曼子流形上稳定积分流的不存在性定理和同调群消没定理[30].1984年，忻元龙将Lawson-Simons稳定积分流的不存在性定理和同调群消没定理拓广到了欧氏空间中紧致子流形的情形，并给出了若干重要的应用[47].1997年，K.Shiohama和许洪伟运用关于稳定积分流不存在性的Lawson-Simons-Xin定理证明了完备单连通的非负常曲率空间型中完备子流形的拓扑球面定理[43].本文进一步将Lawson-Simons-Xin同调群消没定理拓广到双曲空间中紧致子流形的情形，并运用这一新的同调群消没定理证明了双曲空间中完备子流形的拓扑球面定理，从而推广了Shiohama-Xu的拓扑球面定理. 著名的Berstein定理说：R(n≤7)中完备极小图M必为n维超平面.许多几何学家曾试图把Berstein定理推广到完备稳定极小超曲面的情形。Cao-Shen-zhu运用Schoen-Yau的结果[40]证明了欧氏空间R中n(n≥3)维完备稳定极小超曲面M仅有一个端[5].李伟光和王嘉平进一步证明了欧氏空间中完备极小子流形M(n≥3)的每个端都是非抛物的.他们还进一步证明：若M具有有限指标，则M上L<2>调和1-形式空间的维数是有限的，且M仅有有限个端(本文证明了R却中满足∫<,M>|B|调和1-形式，且M仅有一个端.本文进一步将该结果推广到外围空间为具非零常曲率的完备单连通空间型的情形.本文还证明：若具常曲率c的完备单连通空间型F?中具有有限全曲率的n维完备非紧可定向子流形M满足下面条件之一：(i)n≥3，c=0且∫<,M>H<∞；(ii)n≥5，c=-1且H<1-2/<平方根n>；(iii)n≥ 3，c=1且H有界的，则M上L<2>调和1-形式空间的维数是有限的，这里H为M的平均曲率.更一步，在条件(i)或(ii)下，M仅有有限个端.本文还获得了伪欧氏空间R<,p>中完备非紧的类空子流形具有有限个端的充分条件. 最近，Cheng-Cheung-Zhou研究了一般黎曼流形中完备非紧的弱稳定常平均曲率超曲面的整体性质，并证明了常曲率空间型中完备非紧的弱稳定常平均曲率超曲面仅有一个端[14].设M为第(n-1)个Ricci曲率非负的(n+1)维黎曼流形N中完备非紧的弱稳定常平均曲率超曲面，本文证明了这类超曲面上有界调和函数的一个不存在性定理，由此证得M仅有一个端.此外，本文进一步将该结果推广到外围空间为双曲空间的情形. 黎曼流形上Laplace算子的谱是流形上重要的解析不变量，它与流形的几何、拓扑有着深刻的联系.通过流形的几何量与拓扑量来估计其特征值的上、下界是一个十分重要的研究课题.迄今为此，人们仅知道几种特殊流形上Laplace算子的谱，例如，球面、几个球面的乘积流形等.本文完整地刻画了S<4>中具有常平均曲率和常数量曲率的闭超曲面上Laplace算子的谱，即计算出这类闭超曲面的各阶特征值.该结果的一个直接推论是，S<4>中具有常数量曲率的极小闭超曲面的第一特征值是3.