近年来，分数阶微积分被广泛地应用到自然科学和工程的诸多领域，充分展现出了分数阶微积分在建模复杂动力系统中的优越性和不可替代性。然而，与整数阶微积分算子不同，分数阶微积分算子具有非局部性，使得很多能有效计算整数阶微分方程的数值算法无法用来求解分数阶微分方程。因此，对分数阶微分方程数值算法的研究日益重要。　　本文针对分数阶微分方程给出了新的高精度数值算法，大大降低了计算量。主要结论如下:　　(1)基于分数阶微分方程和Volterra积分方程的等价性，从Volterra积分方程中推导出残差函数和误差方程，并采用谱延迟校正的思想来构造了一种求解带有Caputo导数算子的分数阶常微分方程及方程组初值问题的高精度数值算法，大大地提高了运算精度并降低了计算量。最后，通过数值实验来验证新方法的高精度和有效性。　　(2)给出时间空间分数阶对流扩散方程及其相应的变分形式，设计了一个谱Galerkin方法来求解时间空间分数阶对流扩散方程初边值问题。证明了变分问题解的存在唯一性以及谱Galerkin方法的收敛性。最后，通过数值实验来验证理论分析的结果。