论文部分内容阅读
设a(n)表示所有的非同构Abel群的个数.熟知对每一个素数p,自然数α≥1有a(pα)=P(α),这里P(α)表示α的无约束划分的个数.特别我们有： a(1)=1,a(p)=1,a(p2)=2,a(p3)=3, a(p4)=5,a(p5)=7,a(p6)=11,a(p7)=15. 有关有限Abel群的个数函数a(n)的均值,许多数论家做了深入的研究： P.Erdos,G.Szekeres首先证明： ∑a(n)(n≤x)=c1x+O(x1/2). Kendall,Rankin证得： ∑a(n)(n≤x)=c1x+c2x1/2+O(x1/3logx). H.-E.Richert证得： ∑a(n)(n≤x)=c1x+c2x1/2+c3x1/3+O(x3/10log9/10x). 我们令△(x):=∑a(n)(n≤x)-c1x-c2x1/2-c3x1/3，以下是近期的研究成果： △(x)《x20/69log21/23x,W.Schwarz； △(x)《x7/27log2x,P.G.Schmidt； △(x)《x97/381log35x,G.Kolesnik； △(x)《x40/159+ε,H.Q.Liu； △(x)《x50/199+ε,H.Q.Liu； △(x)《x55/219log7x,Sargos and Wu； △(x)《x1/4+ε,Robert and Sargos. 本文将研究a(n)在k-full数集中的均值.设k≥2为一固定正整数,n>1的标准分解式为n=p1α1…psαs,若αj≥k(j=1,…,s),则称n为k-full数.令δk(n)表示k-full数的特征函数,我们有下面两个定理： 定理1我们有渐近公式 ∑a(n)δ3(n)(n≤x)=x1/3P1(logx)+x1/3P2(logx)+O(x1/4+ε),其中Pj(t)(j=1,2)是t的j次多项式. 定理2我们有渐近公式 ∑a(n)δ3(n)(n≤x)=x1/3Q2(logx)+x1/4Q4(logx)+x1/5Q6(logx)+O(x0.1876+ε),其中Qj(t)(j=2,4,6)是t的j次多项式. 下面我们证明一个假设性结果： 定理3若Riemann-zeta函数的Lindelof假设成立,则 ∑a(n)δk(n)(n≤x)=∑[x1/jHp(j)-1(logx)+O(x1/2k+ε)](2k-1)(j=k)，其中Hp(j)-1(t)是t的P(j)-1次多项式.