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经典的等周不等式、Bonnesen型等周不等式是几何学中非常重要的不等式.将经典的等周不等式推广到一般黎曼流形上以及寻找新的Bonnesen型等周不等式是许多数学家们感兴趣的课题.Bonnesen,Osserman，Chavel，Santaló,周家足等用不同的方法对等周不等式的相关问题进行了系统的研究.积分几何的理论在这些研究中显得十分有效.
何刚，Santaló分别在文献[4.16]中通过对经典等周不等式的研究得到了Bol-Fujiwara定理的简化证明.本文对Bonnesen等周不等式进行了类似地研究得到了如下的结果.
定理3.4.设K为平面E2上的凸体，D是K的最小外接圆所围成圆域，m2为E2中特殊运动群.如果K不是圆盘，则m{u∈m2:#{u((θ)D)∩(θ)K}≥4}＞0.(1)
定理3.6.设K为平面E2上的凸体，(θ)K不包含线段，I是K的最大内接圆所围成的圆域，m2为E2中特殊运动群.如果K不是圆盘，则m{u∈m2:#{u((θ)I)∩(θ)K}≥4}＞0.(2)
定理3.9.设K为平面E2上的凸体并且具有不包含直线段的按段光滑边界.如果存在r∈[ri，re]使得πr2-Lr+A=0，(3)其中re，ri分别为K的最小外接圆半径与最大内接圆半径.那么K一定是圆盘.
在此基础上，本文给出了“一系列Bonnesen型等周不等式中等号成立的必要条件是所涉及的域为圆盘”的证明.
李明在文献[12]研究了常曲率空间中等周亏格的的上界估计.在本文中，我们通过对球面上曲线的曲率积分不等式的研究，得到了二维球面上等周亏格△1/(τ)2(K)的一类新上界估计，即定理4.4.设K是S2(r)上由按段光滑的简单闭曲线所围成的域，边界曲线(θ)K的弧长参数为s，κ(s)为(θ)K的曲率，K的周长和面积分别为L,A.则△1/(τ)2(K)=L2-4πA+1/r2A2≤rn∫(θ)Kκnds)2,n∈N*,(4)其中等号成立的充要条件是K退化为一段大圆弧或S2(r)-intK为一段大圆弧.