【摘 要】
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非线性Schr（?）dinger方程是非线性光学,等离子体物理以及量子场论等物理学不同领域的重要数学模型.它有着丰富的应用,尤其在用来描述电磁波在一定场强下通过介质的折射,等离子体中电磁场的传播以及Bose-Einstein凝聚等.本论文主要研究Bose-Einstein凝聚非线性Schr（?）dinger方程组和带导数项非线性Schr（?）dinger方程组在周期边值问题和Cauchy问题解的适
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非线性Schr（?）dinger方程是非线性光学,等离子体物理以及量子场论等物理学不同领域的重要数学模型.它有着丰富的应用,尤其在用来描述电磁波在一定场强下通过介质的折射,等离子体中电磁场的传播以及Bose-Einstein凝聚等.本论文主要研究Bose-Einstein凝聚非线性Schr（?）dinger方程组和带导数项非线性Schr（?）dinger方程组在周期边值问题和Cauchy问题解的适定性.第一章为背景知识.首先介绍Bose-Einstein凝聚非线性Schr（?）dinger方程组的物理背景,以及在数学上学者们对该方程组的研究现状.其次介绍带导数型非线性Schr（?）dinger方程的物理背景及研究现状.第二章证明空间d=1维情形玻色-爱因斯坦凝聚型非线性耦合Schr（?）dinger方程组整体光滑解的存在唯一性和爆破现象.首先考虑了周期边值问题,应用矩阵理论和压缩映像原理得到方程组局部解的存在唯一性,再结合先验估计得到方程组周期边值问题在能量空间中整体光滑解的存在唯一性.其次,因为所得的先验估计不依赖于周期L,令L→∞就得到相应Cauchy问题解的整体存在唯一性.最后,当方程组的系数和非线性项指数p在一定的假设条件下,可以得到该方程组的爆破现象.第三章研究空间d=2维情形Bose-Einstein凝聚型非线性Schr（?）dinger方程组整体光滑解的存在唯一性问题.因为在二维情形Sobolev嵌入H1→ L∞不成立,因此不能直接应用嵌入定理得到二维情形下整体解的存在性.我们首先利用矩阵理论,压缩映像原理得到方程组的局部解的存在唯一性,再应用对数Sobolev不等式得到解的先验估计,因为先验估计不依赖时间T,由局部解和先验估计即可得方程组周期边值问题整体光滑解的存在唯一性.又因为先验估计不依赖于周期L,令L→∞就得到相应Cauchy问题整体光滑解的存在唯一性.第四章考虑空间d=1维情形Bose-Einstein凝聚中分数阶非线性Schr（?）dinger方程组整体光滑解的存在唯一性问题.首先应用紧致性方法证明了方程组整体解的存在性,然后结合先验估计得到方程组周期边值问题整体光滑解的存在唯一性.因为先验估计不依赖于周期L,令L→∞得到相应Cauchy问题整体光滑解的存在唯一性.第五章研究空间d=1维情形一类带导数项耦合非线性Schr（?）dinger方程组整体弱解的存在性问题.应用Galerkin方法结合解的先验估计,得出方程组在小初值条件下整体弱解的存在性.第六章研究空间d=1维情形一类带导数项耦合非线性Schr（?）dinger方程组Cauchy问题的适定性.应用由J.Bourgain引入的Fourier限制范数方法,压缩映射原理和非线性时空估计得到初始值属于Hs（R）×Hs（R）（s>1/2）方程组的局部适定性.
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