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本文考虑非齐次不可压Boussinesq方程组的如下初边值问题.
pt+div(pu)=0, (x,t)∈Ω×(0,T),divu=0, (x,t)∈Ω×(0,T),(pu)t+div(pu u)-div(2μdu)+▽p=pf+fθ, (x,t)∈Ω×[0,T),(Cv(аt(pθ)+div(puθ))-div(k▽θ)=2μ｜du｜2, (x,t)∈Ω×(0,T),p｜t=0=p0, pu｜t=0=p0u0, pθ｜t=0=p0θ0 x∈Ω,u｜аΩ=0,▽θ·n｜аΩ=0 (x,t)∈аΩ×(0,T).
(*)
其中ΩR3为边界光滑的有界开区域,未知向量函数u=u(x,t)表示流体速度,未知函数p=p(x,t),p=p(x,t),θ=θ(x,t)分别表示密度,压力与温度函数,f=f(x,t)为已知外力向量函数,p0u0=p0u0(x),P0=p0(x)分别表示初始动量与初始密度,系数μ:=μ(p,θ),k:=k(p,θ),Cv:=Cv(p,θ)分别为流体粘性系数,热传导系数和比热容.它们都是关于密度p和温度θ的正的函数.
本文主要研究问题(*)强解的局部存在唯一性,内容分为如下两部分：
1.考虑(*)的一个线性问题,证明了线性问题强解的存在唯一性,并得到了强解的一致估计,且这些估计不依赖于初始密度p0的下界.
2.在线性问题强解的存在唯一性和一致估计的基础上,根据经典的迭代讨论,从而证明了问题(*)强解的局部存在唯一性.