【摘 要】
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最优化理论与方法是20世纪30年代末期逐渐产生、发展和形成的一类新的数值方法.无约束优化问题是这一数值计算领域中十分活跃的研究课题之一.快速地求解无约束优化问题,除了
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最优化理论与方法是20世纪30年代末期逐渐产生、发展和形成的一类新的数值方法.无约束优化问题是这一数值计算领域中十分活跃的研究课题之一.快速地求解无约束优化问题,除了其自身的重要性外,还体现在它也构成一些约束优化问题的子问题.因此,对于无约束优化问题,如何设计快速有效的算法一直都是优化工作者十分关心的问题.近几年来,解决此问题的方法众多,理论比较成熟.每一种方法都有其自身的优势,但也都不同程度的存在一定的缺陷和不足.如何改进这些方法?将已有的方法相结合,构造新的混合算法,扬长避短,就成为解决此类问题的一种有效途径.本文首先对几种典型的无约束优化问题算法及线搜索准则进行了深入的理论分析,并着重地分析和研究了其中的牛顿法.经典的牛顿法及其各种修正形式都要求目标函数f (x)的海森矩阵G (x)正定或半正定,即较强的依赖于目标函数的凸性,以保证牛顿方程或修正的牛顿方程有解,且是目标函数在当前点处的一个下降方向.否则,牛顿法不可行.其次,针对上述缺点,本文提出了一个解“非凸”函数无约束优化问题的“正则化牛顿—最速下降混合算法”.由于函数f (x)的下降方向(如最速下降方向,负曲率方向等)总是存在的,该性质与函数的凸性无关.因此,当正则化牛顿方程无解或有解但解使得目标函数不充分下降时,可采用最速下降方向取代正则化牛顿方向.文中在较弱条件下证明了新算法在五种常用的线搜索准则下都具有全局收敛性.同时证明,经过一定迭代步后,新混合算法还原为正则化牛顿法,故算法具有二次收敛性.最后,将新混合算法用于求解9个典型的测试问题,并将其迭代过程中采用牛顿方向与最速下降方向的迭代次数进行比较.数值试验的结果表明:新混合算法采用牛顿方向的迭代次数比最速下降方向的迭代次数多,收敛速度快,因此是有效可行的.
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