微分方程是17世纪与微积分同时诞生的学科，是联系物质科学乃至社会科学与数学科学的主要桥梁。在上个世纪的九十年代由于科学技术的飞快发展，特别是计算机和互连网广泛普及，微分方程更是得到长足的进步．它在图象处理，浓雾密度分析，分子进化和基因序列中都有广泛的应用．本文所研究的二阶非线性时滞微分方程的有界性和平方可积性；矩阵微分方程的振动性等理论都是微分方程理论中的重要分支，它们具有深刻的物理背景和数学模型，这些理论在应用数学中得到了迅速的发展和广泛的重视． 根据内容本文分为以下四章： 第一章概述了本文研究的主要问题． 第二章在本章中我们将研究一类二阶非线性时滞微分方程解的有界性和平方可积性． 第三章在本章中我们将研究一类带强迫项的二阶非线性时滞微分方程解的有界性和平方可积性． 第四章在本章中，我们讨论矩阵微分方程解的振动性．其中Q(t)，Y(t)为n阶实连续矩阵，并且Q(t)是对称的．f(t)是纯量实连续函数．