【摘 要】
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自然界中的许多现象可以由分段微分动力系统来表示.极限环的分支问题是当前分段微分动力系统的重要研究课题之一.本文以分段近哈密顿系统为核心,对系统添加不同的切换流形和扰动,讨论系统的极限环分支个数问题.本文的研究内容分为三部分.首先,我们研究了一类具有三条非线性切换曲线的平面分段近哈密顿系统的极限环分支问题.三条切换曲线从原点出发,将相平面分为三个子区域.在系统存在周期环域的假设下,建立了 Poinc
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自然界中的许多现象可以由分段微分动力系统来表示.极限环的分支问题是当前分段微分动力系统的重要研究课题之一.本文以分段近哈密顿系统为核心,对系统添加不同的切换流形和扰动,讨论系统的极限环分支个数问题.本文的研究内容分为三部分.首先,我们研究了一类具有三条非线性切换曲线的平面分段近哈密顿系统的极限环分支问题.三条切换曲线从原点出发,将相平面分为三个子区域.在系统存在周期环域的假设下,建立了 Poincaré映射,并给出了系统的一阶Melnikov函数.利用Melnikov方法和Chebyshev系统的结论,得到了一个具体分段近哈密顿系统的极限环个数的最小上界.通过验证参数的独立性,证明了该系统至多有5个极限环.接下来,我们研究了具有切换线{（x,y）:y=±kx,k∈（0,+∞）,x≥0}的平面分段近哈密顿系统的极限环分支问题.系统的扰动项同时含有参数ε与λ.为估计系统极限环的最大个数,我们推导了系统的一阶Melnikov函数关于参数λ展开式中前三项的系数公式.作为一个应用,研究了一个分段近哈密顿系统极限环的最大个数,运用一阶Melnikov函数的展开项系数以及Chebyshev系统的结论,证明了该系统的周期环域在多参数扰动下至多可产生4个极限环.最后,我们研究了具有三个切换区域的分段近哈密顿系统的极限环分支问题.在系统存在周期环域的假设下,共讨论了两种切换流形,并给出了系统的一阶Melnikov函数.作为一个应用,研究了两个分段近哈密顿系统的极限环分支,这两个系统的奇点种类和位置满足一定的条件,即它们的所有子系统都含有一个中心,并且中间子系统（即两个切换线之间的系统）的中心位于原点,而其他子系统的中心在x轴上.运用Melnikov方法和基本线性代数结果,证明了其中一个系统至少有8个极限环,另一个系统至少有7个极限环.
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