计算机断层成像(Computed Tomography,CT)在医学成像和无损检测领域中是一种重要的无损检测技术。在实际的检测中,由于受到扫描环境、X射线能量、探测器尺寸、物体的尺寸等因素的影响,采集得到的投影数据可能是不完备的。作为一种典型的不完备投影重建问题,CT外问题通常出现在采集的投影数据只能穿过待扫描物体外部环形区域的情况下。CT外问题在工业CT中有重要的应用。比如,物体尺寸太大导致射线束无法完全覆盖其断面,物体中心部分密度太大导致X射线无法穿透,大口径管状物内部有流动的流体等。在上述情况中,如果感兴趣的区域仅仅位于物体的外部区域(在线管道外壁缺陷、大型齿轮的齿缺陷等),CT外问题可以提供了一种可行的检测方案。基于以前专家学者的研究成果,CT外问题有两个主要的特点。一方面,由于缺少指向物体内部的射线投影数据,沿着旋转角度方向的边缘能够较容易地被重建出来,而沿径向方向的边缘则很难被重建,伪影比较严重。另一方面,对于物体的每一点而言,每点缺失的投影数据都是不同的。由于投影数据的缺失,CT外问题是一个严重的不适定逆问题,因此如何抑制外问题重建图像中沿径向边缘分布的伪影是一个困难并且核心的问题。首先,我们针对二维扇束扫描几何的CT外问题进行研究。由于缺少指向物体内部的射线投影数据,CT外问题中重建图像中会带有伪影,特别是沿径向的边缘附近。由于射线束硬化的影响,重建图像的灰度会不均匀分布。由于图像的边缘信息对进一步的图像分析、图像测量等有重要的参考价值,因此我们考虑将图像重建算法和图像分割算法结合起来,在图像重建的过程中引入图像分割步骤来逐步修正重建图像的边缘。众多研究表明区域尺度拟合(Region Scalable Fitting,RSF)方法能够有效地分割带有灰度分布不均匀的图像。因此,我们发展了一种将传统的TV(Total Variation)图像重建算法和RSF图像分割算法结合的方法来保护边缘和抑制伪影。该方法通过在一定的迭代重建步骤后引入分割方法,初步确定图像的边缘,并通过迭代逐步修正图像的边缘,达到抑制伪影的目的。仿真和真实数据实验表明,我们的方法能够有效地保护边缘,并且能同时减轻由投影数据缺失和射线束硬化引起的伪影。其次,虽然将图像重建与图像分割相结合地方法能够减轻伪影,但是重建结果十分依赖于图像分割的准确度,在实际应用中有较大地限制。为了更好地处理外问题的不适定性,更好地抑制沿径向分布的伪影,我们在正则化方法的基础上进行进一步研究。根据扇束CT外问题中伪影分布的特点,我们提出一个新的符合外问题伪影分布特点的正则化项,即图像的加权方向全变差(Weighted Directional Total Variation,WDTV)。区别于传统的正则化项,如常用的TV正则化项,我们提出的WDTV正则化项有以下特点:1)为了抑制沿径向分布的伪影,我们选择径向方向和旋转角方向来计算方向全变差。这与传统TV中沿x和y方向计算差分不同。2)为了增强沿径向的边缘响应,我们在WDTV中沿径向方向的差分和旋转角方向的差分这两项分别引入一个权重参数。通过选取不同的权重参数来控制沿两个方向的边缘响应强度。3)图像的WDTV可以用来刻画图像梯度模的稀疏性,这使得重建的图像会趋于一个(近似)分片常数的图像。基于WDTV的上述特点,我们将其引入到重建模型中,并提出了一种SART+WDTV(Simultaneous Algebraic Reconstruction Technique+Weighted Directional Total Variation)最小化的算法求解重建模型。仿真实验以及实际数据的实验表明我们的重建模型和算法能够更好地抑制沿径向分布的伪影,保护沿径向的边缘。再次,随着CT技术的不断发展,三维锥束CT因其平均每层扫描时间短、轴向精度高等原因被广泛应用,研究三维锥束CT的外问题比二维扇束CT外问题有更加突出的实用价值,因此我们针对三维圆周轨迹锥束扫描几何的CT外问题进行进一步研究。通过实验分析可知,圆周轨迹锥束CT外问题中,重建图像中的伪影主要沿径向、旋转角度方向以及z方向分布,这对应于柱坐标的三个方向。因此,基于二维扇束CT外问题中建立模型的思想,我们发展了一种基于柱坐标下的三维加权方向全变差(Three Dimensional Weighted Directional Total Variation,3D-WDTV)的重建模型。我们选择沿径向、旋转角方向和z方向来计算三个方向全变差,然后每个方向全变差分赋予不同的权重参数来达到控制沿不同方向边缘响应的作用。为了进一步分析我们模型,我们证明了我们的模型是凸的,求解方法便于实现。并且证明了我们的模型与传统TV模型在极坐标表示下的关系,通过比较与传统TV模型的差别可以进一步说明我们模型的有效性。仿真实验结果表明,我们的模型和算法在抑制伪影方面的优越性。最后,在上述基于WDTV的模型中,权重参数的选择对重建结果有非常大的影响。合适的权重参数能够获得较理想的重建结果。但是,不合适的权重参数选择会引入严重的额外伪影,降低重建图像的质量。一般来说,人工选取权重参数是主观的、费时的。因此,我们提出了一种基于加权极坐标全变差(Weighted Polar Total Variation,WPTV)的重建模型,并在扇束CT外问题进行验证。该模型区别WDTV的地方在于:WPTV中在每点处的沿径向和旋转角度方向权重参数都与该点处的极半径和缺失投影数据角度范围相关。由于每点处缺失投影数据角度范围,因此每点的权重都不同。而WDTV中权重参数对每一点来说是人为选定的固定数值。因此,WPTV更能反映外问题的特点。与此同时,我们基于WPTV,给出了一种权重参数的选择方案,避免了人工选取的主观性。进一步,由于WPTV和WDTV均会在图像的平滑区域引入额外的条形伪影,我们用先验图像和WPTV的重建结果进行融合,以达到抑制额外伪影的目的。数值实验验证了我们提出的模型以及算法在抑制伪影和保持径向边缘方面的优势。