张量的概念是十九世纪由Gauss，Riemann和Christoffel在微分几何的研究中提出的。在二十世纪初期，Ricci，Levi-Civita等将张量解析进一步发展成为数学的一个分支。1916年，Einstein将张量应用到广义相对论的研究中，这使得张量分析成为理论物理、连续介质力学和其他学科的很重要工具。　　在应用数学的一个新的分支—多重线性数值代数中，高阶张量已经成为一项重要课题，并且在解决实际问题中有着广泛的运用。M.E.Kilmer，C.D.Martin，L.Perrone在文献中给出了张量之间的乘法、单位张量、张量的逆、张量的转置、张量的范数等张量的相关定义及若干性质。在最近对多重线性代数的研究中，张量特征值问题也引起了特别的关注。Liqun Qi在文献中给出了实超对称张量的超特征多项式、特征值和E-特征值的定义并给出特征值的若干性质。在文献中，他定义了张量的秩。而正定张量的定义早已在国内外数学与力学著作中出现，如参见文献。　　对算子不等式的研究是算子理论中的一个重要课题。一般来说，算子不等式的重要性来自于算子相互之间的不可交换性。1934年，Lowner证明了如下现称为“L-H不等式”的著名不等式:若A≥B≥0，则对任意实数α∈[0，1]有Aα≥Bα。据此猜想是否也有关于张量的L-H型不等式。　　本文共分四章:　　第一章主要讨论了三阶张量的展开、乘法及转置的定义，并将这些概念延伸推广到了四阶张量。　　第二章主要将二阶张量作为线性映射的定义推广到了四阶张量，即将四阶张量视为二阶张量到二阶张量的线性映射，并由之讨论四阶张量的另一种乘法及相关概念与性质。　　第三章应用第二章讨论的关于四阶张量的概念与性质，给出了有关四阶张量的L-H型不等式的证明。　　第四章总结了全篇论文并对有关张量的更广泛深入研究前景，特别是“张量不等式”问题的研究前景做出展望。