本文主要研究Riemann面上带有cusp奇点与锥奇点的共形度量。　　首先，本文定义了三种强度的cusp奇点和锥奇点并介绍其相关性质。进一步给出了共形度量在满足面积和Calabi能量有限的条件下，弱cusp奇点与cusp奇点相互等价以及弱锥奇点与锥奇点相互等价。　　其次，我们考虑在仅满足面积和Calabi能量有限的条件下，cusp奇点与强cusp奇点是否也是等价的。然而我们发现在一般情况下cusp奇点与强cusp奇点不等价并给出具体反例，接着我们考虑cusp奇点与强cusp奇点何时是等价的，为此我们介绍两种特殊的共形度量-extremal Hermitian度量与HCMU度量。并利用这两类度量的相关性质，给出cusp奇点与强cusp奇点彼此等价的充分条件，并且得到HCMU度量在cusp奇点附近的精确表达式。　　最后，我们考虑锥奇点情况，首先我们对锥角度进行了分类，得到了锥角度的分类定理。然后利用该定理，我们给出锥奇点与强锥奇相互等价的充分条件，同时我们也得到HCMU度量在锥奇点附近的精确表达式。