本文主要研究了一些随机矩阵的普适性极限定理。所谓普适性也就是这些极限性质只与矩阵的结构有关系,而与矩阵元素的具体分布无关(大多数时候与矩条件有关)。本文主要研究了四个问题。分别是样本相关系数阵最大最小特征值的极限分布,Wigner矩阵部分线性谱统计量的高斯波动性,随机行列式的极限分布以及一个Wigner矩阵特征向量统计量的极限定理。第一章主要是本文的一些背景以及预备知识的介绍。第二章我们讨论样本相关系数阵最大最小特征值的极限性质。设W=YYT为一个样本相关系数阵,其中y=(yij)p,n的元素为yij=xij/(?)我们设{Xij：1≤j≤p,1≤j≤n}为一族具有对称分布且有次指数尾部的独立随机变量。进一步地,对任意i,我们假设xij,1≤j≤n是同分布的。我们考虑0<p<n且当p,n→∞时对某个y∈(0.1)存在p/n→y的情形。在这一章中,我们将证明经过适当的规范化,W的最大和最小特征值依分布收敛到Tracy-Widom分布(TW1)。更进一步地,如果Xij是i.i.d.的标准正态分布,我们还证明了对矩阵R=RRT也存在同样结果。其中R=(rij)p,n的元素为第三章我们的主要研究对象是复的Wigner矩阵Mn=1/(?)Wn,规范化后其特征值主要落在区间[-2,2]内。设λ,≤λ2…≤λn为Mn的特征值。假设该Wigner矩阵中的元素的前四阶矩与高斯酉系综(GUE)的相同。对于在一个包含[-2,2]的开区间上四次连续可微的函数f,我们对两类特征值的部分线性统计量建立了中心极限定理。第一类由落在Wigner半圆律主体区间里的临界值u来定义,为Ay[f;u]=∑l=1nf(λl)1{λl≤u}.第二类则为Bn[f;k]=∑l=1kf(λl),其中参数k=kn为正整数,且当n趋于无穷时有k/n→y∈(0,1)。进一步地,我们由Bn[f;(?)nt(?)]构造了一个部分和过程并得到了它的弱收敛性质。主要的困难是处理由具有一些不可导点的检验函数定义的线性谱统计量。我们的主要策略是结合Helffer-Sjostrand公式以及一个关于格林函数的比较过程把GUE情形的结论推广到一般的Wigner矩阵情形。另外,关于An[f;u],我们也讨论了实Wigner矩阵的情形。第四章我们考虑随机方阵An=(aij)n,n,其中{aij=：aij(n)),i,j=1,…,n}是一族独立的均值为零方差为1的实随机变量。在假设下,我们证明以下Girk的行列式det An的对数律：当n→∞时,有第五章我们考虑一个特征向量的普适性问题。设Mn为一个n×n实(或复)Wigner矩阵,而UnAnUn*为其谱分解。令(y1,y2…,yn)T=Un*x,其中x=(x1,x2,…,xn)T是一个实(或复)的单位向量。假设Mn的元素的前四阶矩与GOE(或GUE)一样,在此假设下,对于满足随n趋于无穷大‖x‖∞→0的单位向量x我们证明过程弱收敛到布朗桥,其中β=1为实情形而β=2为复情形。这个结果从某种程度上反映了由Wigner矩阵特征向量构成的正交阵(或酉阵)在正交群(或酉群)上有渐近Haar分布的性质。第六章是本文工作的小结和对下一步的研究工作的一些规划。