谱方法是一种重要的高性能数值计算方法，有着有限元方法和有限差分法不可比拟的优势，其最大的魅力是在原方程的解无穷光滑时，该方法具有“无穷阶”的收敛速度和逼近精度。而谱元方法结合了谱方法以及有限元方法的思想，既继承了谱方法的高精度性，以较少的自由度和开销取得指定的精度，也具有了同有限元方法一样的区域灵活性。更重要的是，谱和谱元方法的低存取量、高计算密度要求正好迎合了当今计算机体系结构的发展潮流。近三四十年来，谱以及谱元方法已经在计算流体力学，统计物理，量子力学，海洋科学，天气预报，化学反应，材料科学等领域中获得了广泛成功的应用。随着数值计算模拟技术的不断发展和日趋成熟，以及计算机体系、技术的快速进步，谱以及谱元方法有了更广阔的发展空间。　　偏微分方程特征值问题是科学计算中的极具挑战性的一类重要问题，其在很多实际问题中都有应用。对该类问题的研究，多数研究成果还是集中在经典的有限元方法以及有限差分法;而对于谱与谱元方法却缺乏系统研究。然而，谱与谱元方法选取整体正交函数作为基底的这种全局性，使得我们认识到对于微分特征值问题这么一种全局的问题，谱以及谱元方法，特别是基于非结构化网格的谱元方法在此类问题的求解上具有更好的适用性。　　本论文致力于研究基于三角网格的谱元方法，以应用于数值求解偏微分方程特征值问题。三角形作为三角网格剖分的基本单元，在复杂区域谱元方法中有着重要作用。为此，我们首先对任意三角形上的Laplace算子特征值问题的谱方法进行了详细的数值研究，为后续的三角谱元方法的研究奠定了基础。进一步地，针对典型的第一类鞍点问题: Stokes特征值问题，提出了相应的三角谱元方法;对双调和算子特征值问题，通过引入辅助函数转化为等价的第二类鞍点问题，建立了相应的三角谱元逼近格式;最后，由双调和算子特征值问题本身的变分形式出发，设计了相应的C1三角谱元方法。　　对于任意三角形区域上的Laplace特征值问题的谱方法的研究，我们选取了三角形上的多项式、有理多项式以及三角函数等五类基函数，分别建立了谱方法逼近格式并实现相应算法。重点从可信特征值比例、最大特征值的渐进性质和最小特征值的逼近精度这三个方面，对基于不同基函数的五种谱方法进行数值对比研究。数值结果表明，三角多项式类谱方法所得可信特征值占全部特征值的比例为最高;各类谱方法计算所得最大特征值均不能有效逼近相应的真实特征值;而对于小特征值的逼近，有理多项式和多项式谱方法均能在三个顶点均为正则角点的三角形区域上达到指数阶逼近精度，而在特征函数存在角点奇性的钝角三角形区域上，有理多项式和多项式谱方法的收敛速度也都能达到包括三角多项式方法在内的低阶方法的2倍。　　基于一类指标集为(-1，-1，-1)的广义Koornwinder多项式，我们提出了Stokes特征值问题的三角谱元方法;并建立了局部正交投影，由此组合成全局区域上的投影逼近，它在相邻单元的公共边界上自然保持连续性，并具有全局区域上的谱精度。进一步地，由广义Koornwinder多项式的正交结构，推导得到了PM-PM-2三角谱元逼近格式下离散inf-sup常数的紧致估计以及H1正交谱元投影的最优误差估计，并以此确立了Stokes特征值、特征函数的最优收敛性估计。最后，三角网格下的高性能数值实验验证了相关理论的正确性以及谱元方法的高效性。　　对双调和算子特征值问题，我们引入辅助函数，并基于指标(-1，-1，-1)的广义Koornwinder多项式，建立了混合三角谱元逼近格式。借助于局部正交投影理论，确立了H1以及H01正交谱元投影的最优误差估计，并进一步地推导得到了双调和算子特征值、特征函数的收敛性估计;该收敛性估计结果关于网格尺寸h是最优的，而关于多项式次数M是次优的。进一步地，在H02正交谱元投影最优估计的假设条件下，我们还得到了关于M的最优收敛阶估计。三角网格下的高性能数值实验证实了谱元逼近格式的高效性。　　最后，本文研究了双调和算子特征值问题的C1三角谱元逼近空间的结构，分别构造了对应单元内部、边界和顶点的C1连续的三类基函数，以在相邻单元公共边上保持函数本身及其法向导数的连续性。进一步地，本文设计了双调和算子特征值问题的C1三角谱元方法。重点研制了三角网格下的C1协调谱元方法的程序，并进行了高性能数值实验，相关数值结果证实了该方法的高效性。　　本文的创新性的工作主要有两个:(1)对于Stokes问题的三角谱元逼近格式，理论上严格证明了离散inf-sup常数的紧致估计，并进一步得到了Stokes特征值以及特征函数的最优收敛阶估计;(2)构造出了C1连续三角谱元逼近空间基函数，并用于双调和算子特征值问题的高效求解。