图论是一门古老而又有趣的学科。它主要研究用某种方式联系起来的若干事物之间的二元或者多元的关系，其中包括拓扑图论、代数图论、化学图论、算法图论、网络图论、模糊图论等研究领域。它也是一门应用相当广泛的学科。在物理、化学、通讯科学、计算机技术以及信息技术等各种学科中都有应用。目前，拓扑图论逐渐地发展成为了一个非常活跃的图论分支。拓扑图论的发展极大地丰富了图论、拓扑学和组合学的内容。它主要是利用组合的各种方法来研究曲面的性状，进行曲面元的刻画。它的核心内容是研究图在曲面上的各种嵌入性质，特别是2-胞腔嵌入。因为一个图可以在多种不同的曲面上有多种可能的嵌入，所以研究图在曲面上嵌入的极值情况具有非常重要的意义。而图能上可嵌入到曲面上，就是指图的最大嵌入亏格取到它的上界的特殊情况，因而研究图的上可嵌入性也引起了广大图论学者的浓厚兴趣。　　关于图的上可嵌入性这一课题的研究，主要体现在两个方面:希望能找到一些图类，使得它们的最大亏格取到上界，从而图是上可嵌入的;对于非上可嵌入图，希望能找到它们的最大亏格的较好的下界。　　本论文主要利用图的一些不变量，如直径，围长，点的度，独立数，非邻节点的度和等，研究了图的上可嵌入性以及非上可嵌入图的最大亏格的下界。具体研究工作主要体现在以下几个方面:　　(1)研究了直径为3且不含3阶完全子图的图的上可嵌入性:若图G是一个直径为3的简单图，且G中不含3阶完全子图K3，则图G是上可嵌入的，也即ξ(G)≤1。这个结果与其他学者所做的结论一起，基本上完善了直径为3的图的上可嵌入性讨论。　　(2)给出了直径为4且不含3阶完全子图的图的最大亏格的紧下界:若G是直径为4的简单图，且G不含3阶完全子图K3，则ξ(G)≤2。这改善了文献[79]的相关结果。　　(3)研究了直径为4且不含k-圈（k≤4）的图的上可嵌入性:设G是直径为4的简单图，若G不含k-圈（k≤4），则ξ(G)≤1，也即G是上可嵌入的。这与(2)一起，比较完整地研究了直径为4的图的上可嵌入性。　　(4)用多个非邻节点度和以及独立数研究了一类半双图和单瓣图的上可嵌入性:　　设G是一个阶为n的2-边连通半双图，若G满足条件(a)或(b):　　(a)α(G)≤2;　　(b)α(G)≥3，且对于任何彼此不相邻的三个顶点ui(i=1，2，3)都有3∑i=1dG(ui)≥2n-2则G是上可嵌入的。而且条件(b)中的下界是最好的。这改善并推广了文献[88]的相关结果。对于阶为n的2-边连通单瓣图的上可嵌入性，相对于半双图来说，要复杂一些，我们也得到了类似的结果。　　(5)研究了一类有环的非简单图和它的补图的上可嵌入性:设G是连通图，若G满足条件(a)或(b):　　(a)无环;　　(b)有环，但任意一个带环的顶点w，w带的环的个数都是偶数。则G或者Gc是上可嵌入的。而文献[82]只考虑了无环图和它的补图的上可嵌入性。　　(6)利用图的一些其他参数，比如点的度，2-因子等，研究图的上可嵌入性，得到了一些新的上可嵌入图类。推广和补充了相关结果。