【摘 要】
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图的Hamilton问题是图论中一个非常经典的问题,也是著名的NP-完全问题之一.以前大部分结果是从图的结构性质出发,研究图中存在Hamilton圈（或路）等性质的充分条件.2010年Fiedler和Nikiforov利用图的邻接谱半径给出了图中Hamilton圈（或路）的存在性定理.随后利用谱半径、Wiener指标、Harary指标等得到图中存在Hamilton圈（或路）等性质的充分条件,成为国
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图的Hamilton问题是图论中一个非常经典的问题,也是著名的NP-完全问题之一.以前大部分结果是从图的结构性质出发,研究图中存在Hamilton圈（或路）等性质的充分条件.2010年Fiedler和Nikiforov利用图的邻接谱半径给出了图中Hamilton圈（或路）的存在性定理.随后利用谱半径、Wiener指标、Harary指标等得到图中存在Hamilton圈（或路）等性质的充分条件,成为国内外学者的研究热点.本文致力于研究在谱半径、Wiener指标等条件下图的Hamilton性、可迹性、Hamilton连通性等问题,具有重要的理论意义和应用价值.本文的主要研究成果如下:1.在谱半径条件下研究图的Hamilton性和可迹性.利用Chvátal的度序列条件,研究了最小度δ（G）≥k条件下图的Hamilton性,给出了Hamilton图关于邻接谱半径和无符号Laplace谱半径的充分条件,并利用Bondy和Chvátal闭包刻画了例外的图,即满足条件但非Hamilton的图;此外,根据Chvátal和Erd（?）s给出的Hamilton图关于连通度和独立数条件的经典结果,给出了k-连通图包含Hamilton圈（或路）的只与图的阶数和连通度有关的邻接谱半径充分条件.2.在谱半径条件下研究图的Hamilton连通性.在最小度δ（G）≥3的条件下,通过分析度序列条件,给出了Hamilton连通图关于邻接谱半径和无符号Laplace谱半径的充分条件,利用Kelmans转换,排除一些图类,最终刻画出所有例外的图;之后,通过引入最小度条件δ（G）≥k,利用Rayleigh商给出了Hamilton连通图关于无符号Laplace谱半径的充分条件,并利用商矩阵和Fourier-Budan定理等刻画出所有例外的图;最后,利用Chvátal给出的Hamilton连通图关于连通度和独立数的条件,给出了k-连通图Hamilton连通性关于图的阶数和连通度的邻接谱半径充分条件.3.在Wiener指标、Harary指标和Wiener-型不变量条件下研究图的Hamilton性质.根据图Wiener指标和Harary指标与边数的关系,分别利用原图和其补图的Wiener指标和Harary指标给出了Hamilton连通图或从每个顶点都可迹的图的充分条件.另外,根据Hamilton连通图、k-Hamilton图、k-边Hamilton图和k-路可覆盖图的度序列条件,给出了这些图关于形式更一般的Wiener-型不变量的充分条件.
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