量子行走起源于经典随机行走,现在已成为一种通用的量子模拟方案。迄今为止,人们已经在越来越多的物理系统中实现了量子行走,例如光学谐振器、冷原子、超导量子比特、单光子、势阱俘获离子、耦合波导阵列以及核磁共振等。在这些系统中引入相互作用、无序、缺陷和跃迁调制等,研究它们对量子行走动力学行为的影响,是备受研究前沿关注的基础问题。利用量子行走可以刻画系统的很多物理性质,如拓扑、纠缠、和关联性质等。通过研究量子行走来研究系统的拓扑性质,有效拓展了量子行走的研究范围。近年来,非厄米物理吸引了越来越多的研究关注,因为增益和损耗在许多物理系统中是普遍存在的,这样的物理系统有很多,比如耦合量子点、光晶格、光波导等。对于以上系统而言,用非厄米哈密顿量描述是更为自然和恰当的。近年来,许多前沿的研究工作给出了一些重要的发现。与传统的厄米系统不同,有一些非厄米系统计算得到的拓扑数是分数化的,有一些系统体边对应关系仍然成立,而大部分情况下,传统的体边对应关系在非厄米系统中是失效的。在这种背景下,非厄米系统的许多概念需要得到细致的研究和重新考虑。非厄米拓扑系统中大量的新奇物理性质成为当今物理学研究的一个重要课题。一些研究工作者,通过推广布里渊区概念得到了广义布里渊区,在其基础上建立了适用于非厄米系统的非布洛赫能带理论。结合Q矩阵构造得到的非布洛赫拓扑不变量可以准确的预测边界态存在的区域,从而可以在非厄米系统中重建体边对应关系。本文第二部分以广义的非厄米SSH模型为例,对非厄米系统的部分特性做了具体的介绍。基于严格的数值结果,展示了体边对应关系的失效以及重建过程,详细的回顾了相关文献中广义布里渊区的数值计算方法。目前已经有许多工作对非厄米系统的静态性质展开了研究,我们这里主要研究非厄米体系的量子动力学性质。在第三章中,我们研究了有限长的具有长程跃迁的双子格晶格中的非厄米量子行走。在一套子格中每个格点上都存在相同大小的损耗,每当粒子到达时都会有一定的几率泄露出去,而在另一套子格中则不存在损耗。当粒子从没有损耗的格点出发时,直觉告诉我们,随着时间的流逝,行走者最终将会完全消失。原则上通过实验观测,可以得到经由每个原胞耗散掉的几率。由于每个原胞都具有相同的耗散强度,因此可以预期经由某个原胞耗散的几率会随着它距量子行走者起点距离的增加而减小。然而出乎意料的是,在一个特定的参数区域,严格的数值模拟给出了一个非常反直觉的衰减概率分布。与上述直觉图像恰好相反,衰减概率在离出发点最远的某一侧边界上有一个显著的分布。为了深入理解这一反常现象,我们计算了该非厄米晶格系统的能谱,研究了其拓扑性质随胞内跃迁强度的变化。研究发现,量子行走完成后,得到的上述奇异耗散几率分布与系统的拓扑性质有着密切的关系。结果表明,奇异耗散几率分布出现的参数区域与边界态存在的拓扑非平庸区域基本重合。