本篇博士论文主要研究最小二乘混合广义多尺度有限元方法。旨在对于具有多尺度以及高对比扩散系数的椭圆问题,用此方法在粗网格上精确求解速度和压力。我们在减少计算成本的同时,能通过较少的多尺度基函数来达到较高的精度。我们考虑用混合法同时给出压力和速度的精确表示。这种方法常用于求解多孔介质的流体问题。由于多孔介质几何结构和多相介质分布的多尺度特性,我们考虑用多尺度模型降维的思想来更有效的求解问题。目前有很多种求解椭圆问题的多尺度方法。这些方法包括:数值均化方法,混合多尺度有限元方法等。这些方法能获得速度在粗网格的精确表示,却不能得到压力的精确表示。因此,构造一个对压力和速度同时精确表示的方法一直以来是一个很有挑战性的问题。本文给出了构造压力和速度的多尺度基函数的方法。首先,我们利用广义多尺度有限元的框架来设计构造基函数的策略。这些过程包括样本空间的构造和局部的特征问题的构造。构造局部的特征问题是为了使得样本空间维数下降。由于是在最小二乘混合形式下,压力和速度的多尺度解空间不需要满足相容性条件。这个优点使得我们在构造速度和压力的多尺度基函数能够更加灵活自由。我们同时给出了最小二乘法混合广义多尺度有限元的收敛性分析。我们用此方法测试了含有不同的渗透场的问题,给出了多个数值算例。数值结果显示在每个粗网格中只需少量的基函数,最小二乘混合广义多尺度有限元方法能同时得到速度和压力的精确解。然后,为了更高效的求解此类问题,我们构造了离线自适应的和在线自适应的方法。我们研究了两种可以有效求解高对比多孔介质椭圆问题的自适应最小二乘混合多尺度有限元方法。离线自适应方法根据残差指标用迭代的方式增加局部速度多尺度基函数和压力多尺度基函数。而在线自适应方法通过构造一系列新的在线速度和压力基函数来更快地降低解的误差。这些新加的基函数是通过计算残差和每一步迭代后解的误差的最大值为指标来增加此区域的基函数。离线自适应方法根据高对比系数来得到更好的逼近空间。在线自适应方法考虑了源项的信息构造出了新的在线多尺度基函数,给出了新的逼近空间。用相同数量的基函数,两种自适应方法都能得到相比均匀增加法更精确的解。在线自适应方法用更少的基函数能达到更高的精度。我们也给出了自适应最小二乘混合广义多尺度有限元的收敛性分析。数值结果显示,当我们选取合适个数的初始基函数,在线自适应方法比离线自适应方法以及均匀增加法的收敛速度都要快。一系列的的数值算例结果与我们的收敛分析一致,并且展示了自适应方法的优势。最后,我们利用最小二乘混合广义多尺度有限元方法求解抛物型方程。我们给出了详细的离线过程和在线过程算法。通过选取合适的参数,我们可以得到一个非耦合的方法。通过离线计算基函数,然后在在线计算中,我们在粗网格上求解每个时间点解,这样显著减少计算时间。数值结果表示我们的方法用较少的基函数可以给出解的一个精确的逼近。此外,利用向后欧拉方法离散时间可以得到稳定的解。