【摘 要】
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这篇论文讨论的对象是最小特征值不小于-3的图.在1976年,Cameron等人发现,对任意一个最小特征值不小于-2的图G,如果它的顶点个数大于36,那么存在一个整矩阵N,使得图G的邻接矩阵A满足A+2I=NTN,其中I是单位矩阵.我们把这样的图称为广义线图.作为广义线图的推广,我们给出了可s-整表示的图的定义如下.对任意的正整数s,如果存在一个整矩阵N,使得图G的邻接矩阵A以及最小特征值λmin,
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这篇论文讨论的对象是最小特征值不小于-3的图.在1976年,Cameron等人发现,对任意一个最小特征值不小于-2的图G,如果它的顶点个数大于36,那么存在一个整矩阵N,使得图G的邻接矩阵A满足A+2I=NTN,其中I是单位矩阵.我们把这样的图称为广义线图.作为广义线图的推广,我们给出了可s-整表示的图的定义如下.对任意的正整数s,如果存在一个整矩阵N,使得图G的邻接矩阵A以及最小特征值λmin,满足如下关系式A+[-λmin]I=1/sNTN,那么我们称图G是可s-整表示的.由定义可知,广义线图是最小特征值不小于-2的可1-整表示的图.这篇论文的结构如下:在第一章,我们将给出格以及格的s-整表示的相关概念,同时给出格的s-整表示性与图的s-整表示之间的联系.此外,在这一章的结尾,我们将阐明,研究图的s-整表示性,尤其是最小特征值不小于-3的图的s-整表示性,对于研究最小模为3的整格有重要意义.在第二章,我们主要介绍我们的研究工具:Hoffman图.Hoffman图的概念是由Woo和Neumaier在1995年首次提出.随后,Kim,Koolen,Yang和Y.等人丰富和发展了 Hoffman图的理论.在这一章我们将整理出关于Hoffman图的相关定义以及重要结果.在第三章,我们关注的焦点是最小点度非常大且最小特征值不小于-3的图.我们的主要结论是:对任意的正整数s ≥ 2,这样的图都是可s-整表示的.同时,我们也指出,存在一个实数ε<-3,使得对任意实数λ(ε,-3],我们都可以找到一个常数f（λ）,当一个图的最小特征值不小于λ并且最小点度不小于f（λ）时,该图的最小特征值不小于-3.在第四章,我们将利用Hoffman图对最小特征值不小于-3的可1-整表示的图进行刻画.特别地,我们确定了所有最小特征值不小于-3的可1-整表示的树.在第五章,我们将利用Hoffman图证明（t×t）-格的2-团扩张图在其顶点个数充分大时,由其图谱唯一确定.这给出了 Hoffman图的另一种应用.在最后一章,我们将罗列出一些问题与猜想作为后续的研究内容.
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