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本文导出旋转的Rayleigh—Bénard问题的四维Lorenz模型并对该模型进行数值求解,分析系统参数对Lorenz吸引子的影响。Rayleigh-Bénard问题是一个描写存在温度差的两平板之间流体流动的无穷维的动力系统,它由Navier-Stokes方程和热传导方程组成,由于无穷维的非线性系统研究的复杂性,常选取有限维的截断形式去分析系统的稳定性特征。Lorenz在1963年选取傅里叶展开中的低维截断方法将Rayleigh—Bénard偏微分方程模型转化为一个三维的常微分方程模型,通过数值求解常微分方程探索Rayleigh—Bénard问题的动力学特征,并首次发现了混沌吸引子(Lorenz吸引子)。
旋转的Rayleigh-Bénard问题是考虑将模型放在一个旋转的平台上,此问题包含三个系统参数,分别是反映流体物理性质的Prandtl数(Pr),反映粘性和浮力之比的Rayleigh数(R)和反映旋转大小的Taylor数(T)。本文利用Lorenz提出的截谱方法选取了有效的截断形式将旋转的Rayleigh—Bénard问题转化为四维的Lorenz方程,在Pr>1时估计出Lorenz方程参数的取值范围,利用Matlab数值模拟讨论三个系统参数对Lorenz吸引子的影响。主要结论如下:
(1)四维的Lorenz系统方程:
X(t)=Pr(-X(t)+Y(t)+τG(t))
G(t)=-Pr(G(t)+τX(t))
Y(t)=-Y(t)+rX(t)-X(t)Z(t)
X(t)=X(t)Y(t)-bZ(t)
(2)四维Lorenz系统和Rayleigh—Bénard系统的参数之间存在如下联系:
τ=πT／(a2+π2)3／2,r=a2cR／(a2+π2)3,b=4π2／a2c+π2
其中a2表示扰动波数。当Pr>1时,四阶的Lorenz系统的参数取值范围为
τ∈[0,√2],r∈(0,∞),b∈[0,8／3]
经典的三阶模型中参数b=8／3是对应四阶Lorenz模型中旋转为零时的情形。
(3)通过数值求解观察系统参数对Lorenz吸引子的影响,结论反映出与偏微分方程理论分析结果相似的动力学特征。
大Prandt1数的情形:旋转的加入增加了系统的稳定性；没有旋转时,失稳发生后首先出现定常对流。
小Prandt1数的情形:在小Pr的情况下,寻找到一个Pr*≈0.6,当Pr>Pr*时,失稳发生后首先出现定常对流,当PrTPr,流体失稳后会先出现振荡。