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“奇异扰动”是指在数理方程问题中一个小的扰动会引起解的大变化,快速变化范围往往是在临近边界的一个窄区域内,方程表现上一般是最高阶导数项前乘以了一个小参数。尽管“奇异扰动”这个术语最早是1955年提出的,但关于奇异扰动方程的数值解法仍有许多问题没有解决,这仍是当前研究活跃的一个领域。本文重点研究关于稳态奇异扰动问题的几类数值方法,包括全局化方法、分片样条配点法、紧致差分格式等,主要工作概述如下:1.对基于Bernstein多项式的Galerkin方法求解二阶微分方程的稳定性与收敛性进行了分析,给出了基于Bernstein多项式的配点法和最小二乘配点法,与Galerkin法相比后两种方法避免了进行数值积分计算。应用实例涵盖一般两点边值问题,正则扰动问题与奇异扰动问题,数值模拟结果验证了方法的有效性与适用范围。2.为改进全局化方法在求解边界层极窄问题时的局限性,本文接着提出了基于分片三次Bernstein多项式的配点法。该方法形成的代数系统系数阵稀疏,每行最多有五个非零元,易于求解,且因对网格剖分没有限制而能方便地与非等距网格结合使用。数值实验对含有边界层的奇异扰动情形结合了Shishkin型网格处理,较好地模拟了含小边界层奇异扰动问题的解。3.将基于分片三次Bernstein多项式的配点法推广到应用任意次分片Bernstein多项式求解两点边值问题,实验表明数值解精度将随着Bernstein多项式次数的增加而提高。4.针对含源项的二维对流扩散方程,本文提出了构造差分格式的一种新思路――换维降阶法,导出了一种紧指数型差分格式。该格式是无条件稳定的正型格式,具有二阶收敛性,Richardson外推法可使其达到四阶精度。数值结果支持理论分析且适用于对流占优时不同边界层问题,包括椭圆边界层和抛物边界层等。本文的工作不只是提出了求解稳态奇异扰动问题的几种新型数值方法,更重要的是方法的思想可用于求解更广泛的一些问题。