【摘 要】
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本文致力于研究非线性色散方程的局部适定性和解的长时间动力学行为.在现代偏微分方程和物理学的研究领域中,非线性色散方程是典型的数学物理模型,其解的动力学行为是极其丰
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本文致力于研究非线性色散方程的局部适定性和解的长时间动力学行为.在现代偏微分方程和物理学的研究领域中,非线性色散方程是典型的数学物理模型,其解的动力学行为是极其丰富的,可参见[71,92,106,131].第一章为前言,我们主要介绍非线性Schrodinger方程和非线性波动方程的研究背景、本文的主要结果及一些预备知识。在第二章中,我们考虑非均匀介质上非线性Schrodinger方程Cauchy问题解的适定性问题.通过建立Zoll流形上临界空间上的非线性估计,证明该流形上具有奇数次非线性项的Schrodinger方程Cauchy问题的解在临界Sobolev空间中的局部适定性理论.在第三章中,我们考虑在欧氏空间中非聚焦型非线性波动方程Cauchy问题解的散射理论,证明五维非聚焦型波动方程以临界Besov空间中函数为初值的解,在没有守恒量或者先验假设对解的临界Sobolev范数提供一致估计时,在临界Sobolev空间中是整体适定且散射的.我们的证明基于线性波动方程径向解的结构、基于Besov空间的新型Strichartz估计和双曲坐标变换及其对应的Morawetz型估计.在第四章中,我们考虑四维具有非聚焦能量次临界扰动项的聚焦型能量临界Schrodinger方程Cauchy问题在能量门槛下解的长时间动力学行为.通过变分方法,我们将能量门槛之下分为两个区域.运用凸性方法,我们发现其中一个区域存在在有限时刻爆破的解.运用[72,73,104,105]所发展的集中紧方法与[30,36]中的相互作用Morawetz估计,我们证明另外一个区域中的解是整体存在且散射的.
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