压缩感知和矩阵填充都是稀疏约束下的反问题,压缩感知利用信号本身或在变换域中的稀疏约束性求解欠定方程,矩阵填充利用矩阵的低秩约束性求解欠定方程。压缩感知理论的核心问题是信号的稀疏表示、观测矩阵的设计和重构算法,信号本身或在变换域中的系数越稀疏,观测矩阵和稀疏基构成的压缩感知矩阵的受限等距常数越小,则压缩感知的性能越好。矩阵填充理论的核心问题是矩阵的低秩特性、非相干特性和重构算法,寻找性能良好的重构算法一直是矩阵填充理论中的一个研究重点。此外,压缩感知的应用领域已经拓展得较为广泛,但矩阵填充的应用尚处于起步阶段,挖掘矩阵填充的应用,进而将矩阵填充和压缩感知结合起来进行应用方面的探索,是非常重要和有意义的课题。本文的主要工作和创新如下:(1)研究压缩感知和矩阵填充的重构算法,改进矩阵填充的重构定理。重构算法是压缩感知和矩阵填充的重要组成部分,重构算法的优劣直接影响压缩感知和矩阵填充的性能。本文首先分析了压缩感知中的BP算法、OMP算法、CoSaMP算法、SP算法和IHT算法,矩阵填充中的SVT算法、ADMiRA算法和SVP算法。实验表明,压缩感知中的BP算法和矩阵填充中SVP算法的重构性能明显优于其它几种重构算法。本文其次分析了矩阵填充的重构定理,指出定理需要两个参量,参量的数目较多且取值不易确定。本文在原有重构定理的基础上,结合矩阵填充的非相干系数提出了新的重构定理,本文所提的重构定理只需一个参量,参量的意义直观且更易判定取值,有效促进了矩阵填充的研究。(2)压缩感知中有效稀疏基的构造。目前用于自然信号的稀疏基都不是非常理想,大多数的自然信号经稀疏变换后得到的系数并不是绝对稀疏的,即除了有限个大系数外,其余的小系数并不为零,而是接近于零,这样的系数向量称为近似稀疏或者可压缩,这必然会影响压缩感知的性能。本文在离散余弦变换(DCT)基的基础上,引入了门限矩阵,构造了基于门限矩阵的离散余弦变换基(DCTTM)。相比于DCT基,信号在DCTTM基下的系数更接近理想的绝对稀疏。(3)压缩感知自适应观测矩阵的构造。观测矩阵是压缩感知理论的一个重要内容,观测矩阵的性能好坏将直接影响到信号的压缩与重构。本文在高斯随机观测矩阵的基础上,结合信号稀疏域系数的部分先验信息,构造了自适应观测矩阵。同时,通过减少观测矩阵的行向量来减少观测值,本文随后从理论和仿真实验两方面验证了自适应观测矩阵的重构性能要优于高斯随机观测矩阵的重构性能。(4)矩阵填充中基于软阈值的投影梯度下降重构算法。目前矩阵填充的重构算法都有一个共同的缺陷,需要已知原始矩阵的秩,而原始矩阵的秩与压缩感知中原始信号的稀疏度类似,往往不能提前预知,这对矩阵填充的实际应用造成了很大的局限性。本文提出的基于软阈值的投影梯度下降(STPGD)算法运用投影梯度下降的方式进行迭代,并采用软阈值对每次迭代产生的矩阵进行秩估计,不仅可以降低算法的计算复杂度,而且能够提高算法重构的精确度。文中从算法的收敛性和复杂度两个方面对STPGD算法的重构性能进行了较为详细地分析,并从理论上论证了达到预定的重构误差时STPGD算法所需的迭代次数。(5)研究压缩感知和矩阵填充在动态图像处理中的联合应用。压缩感知在磁共振成像、单像素相机、人脸识别、图像超分辨率重建等方面都已有较为深入地应用,而矩阵填充在协同过滤、系统识别、传感器网络、频谱感知等方面的研究也取得了初步成果。但压缩感知和矩阵填充的联合应用尚处于起步阶段,本文分析了压缩感知和矩阵填充在动态图像中的联合应用,着重介绍了主成分追踪(PCP)方法。