【摘 要】
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这篇文章是Faber-Krahn不等式的一种变分证法的调研报告,主要参考文章为Bucur等[6]。证明是纯变分性质的,按照以下步骤进行:Buttazzo和Dal Maso（1993）证明存在使规定体积的所有域中的第一个特征值最小化的域,本文把这个结论应用到Dirichlet—Laplacian的第k特征值;Wagner（2005）证明了最小区域的正则性;Bucur和Freitas（2012）使用反
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这篇文章是Faber-Krahn不等式的一种变分证法的调研报告,主要参考文章为Bucur等[6]。证明是纯变分性质的,按照以下步骤进行:Buttazzo和Dal Maso（1993）证明存在使规定体积的所有域中的第一个特征值最小化的域,本文把这个结论应用到Dirichlet—Laplacian的第k特征值;Wagner（2005）证明了最小区域的正则性;Bucur和Freitas（2012）使用反射理论证明最小区域的径向对称性;Bucur和Freitas（2012）对第一特征值求变分证明最小区域是个球体。为了证明第一特征值的最优形状存在,并且尝试将其推广到更一般的k阶特征值,本文学习了 Dal Maso和Buttazzo的关于一般泛函的最优形状存在的结论并补充了一些证明细节。在前期设定部分中,本文首先引入了一些基础的定义,包括集合的容量,相对容量和容量期望以及相关性质等;随后介绍了拟连续,拟开集和γ-收敛的等证明工具。最后,利用上述证明工具和相关引理,完成了最优形状存在性的证明。第三章探讨了最优解的几何性质。从最小区域的有界性和Holder连续性入手,证明最小区域是开集;之后通过反射、Steiner对称的工具以及最大模定理证明最小区域的径向对称性,进一步得知最小区域是个圆环;最后通过对λ1求变分得到最小区域是个球。
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