微分方程数值解法是计算数学的主要研究方向之一，也是大规模科学计算的重要组成部分.本文研究微分方程(组)三大数值解法之一的谱方法及其应用.谱方法最受人青睐的优越性在于它具有谱精度，即方程的真解越光滑，其数值解也越精确.因此，已成功地应用于科学和工程上的各种线性和非线性实际问题的数值计算，例如，计算量子力学、数值天气预报、大气环流问题和海洋问题的研究与数值模拟. 在科学与工程上，许多实际问题的数学模型是常微分方程初值问题.目前，对一阶常微分方程的研究，相关的理论已经非常成熟，人们也已经构造出许多有效的计算方法，相关的参考文献浩如烟海，参见Butcher[6-8]，Hairer，Norsett和Wanner[46]，Hairer和Wanner[47]，Higham[49]，Lambert[57]，Stetter[80]，Stuart和Humphries[82]等等.对于哈密顿系统，我们可以应用辛差分格式求解，见Feng[26]，Feng和Qin[25]，Hairer，Lubich和Wanner[45]，以及Sanz-Serna和Calvo[71]等等. 对于二阶常微分方程初值问题数值方法的研究，无论在理论还是实际应用上，都是一件非常重要而有意义的工作.另外，对许多非线性发展型方程如Klein-Gorden方程和Sine-Gorden方程数值求解时，通过某种空间方向上的离散后，最终也会得到一些二阶常微分方程(组).对此类方程，可以将它们化为一阶方程组后进行求解.当然，为了节约计算成本，我们也可以考虑对它们进行直接求解.参见Fehlberg[22]，Kramarz[55]，Kuo和Vazquez[56]，Franco[26]，Vigo-Aguiar和Ramos[84]以及Konguetof和Simos[54]等等.然而，据我们所知，目前还没有一种针对二阶常微分方程初值问题的具有谱精度的算法.其主要困难在于我们很难设计一种合适的算法并对它的数值误差进行精确估计. 本文中，我们提出了两种求解二阶常微分方程初值问题的数值方法.数值实验展示了这些方法的高效率和高精度，并与理论分析相吻合. 第一章，概述本文的研究背景、目的和主要结果. 第二章，我们研究一类计算二阶常微分方程初值问题的新的数值方法.我们构造了基于Legendre-Gauss插值的配置方法，证明了它们具有谱精度，数值例子显示了该方法的优越性，即比通常的差分方法节省计算时间，并具有更高的精度. 在第三章中，我们研究了一类基于Laguerre-Gauss插值的新配置方法并应用于二阶常微分方程初值问题.我们证明了它们具有谱精度，数值结果也显示了它们的高效率和高精度.另外我们还发展了以广义Laguerre函数为基函数的另一类配置方法，数值结果展示，该新方法同样具有谱精度.