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摘 要： 本文主要研究概论教学的教学方法，以激发学生的学习兴趣，提高学生解决实际问题的能力.
关键词： 概率论 条件概率 教学方法
概率论虽是数学学科的一门分支，但与其他数学学科有很大的区别，即概率论的研究对象是不确定现象.这一差异导致学生对概率论课程中的一些概念和结论一知半解，存在许多疑惑.学生在概论学习过程中比较吃力，觉得概念非常抽象，学习效果差.笔者根据这几年的教学经验，提出概率论教学中的一些措施.
一、结合例子引入定义
概率论中有许多相似的定义和概念，学生对此容易混淆.老师可以通过几个例子同时引入这些相似的概念，以便学生通过例子理解概念.例如在讲解三个事件相互独立和两两独立时，可以引入以下两个例子.
例1. 设样本空间为S=（0，1），事件域为S的所有Borel子集构成， P为Lebsgue测度，设A= （0，1/2），B=（1/4，3/4），C=（1/16，5/16）∪（1/16，5/16）. 试讨论三个事件A， B， C中的任意2个事件是否独立.
例2 （续例1）. 设D=（3/8，7/8）， 试讨论三个事件A， B， D中的任意2个事件是否独立并考察等式P（ABD）=P（A） P（B）P（C）是否成立.
第一个例子给出了事件A， B， C两两独立的定义，而第二个例子给出了事件A， B， C相互独立的定义.接着学生自然会问：为什么不把第一个例子作为事件A， B， C相互独立的定义？两个事件独立指的是条件概率与无条件概率相等.自然地，事件A， B， C相互独立定义为条件概率与无条件概率相等.因此P（A|B，C）=P（A），即第二个例子中的等式必须成立.
二、激发学生的兴趣
激发学生的兴趣可以大幅增强学生的学习效果.在教学中，老师可以设计一些学生感兴趣的实际问题，学生逐步解决有趣的实际问题，进一步学习和理解概率论课程的定义、性质、基本方法和基本理论等.例如在讲授条件概率和Bayes公式时，使用经典的Monty Hall Problem问题.
例3（Monty Hall Problem问题）. 三扇门的后面只有一扇门藏着汽车，而其他两扇门藏着山羊.主持人事先知道汽车所在的位置.参赛者可以选择其中一扇门，但参赛者自己不能开启.在参赛者选择了某扇门后，主持人开启其他两扇门中有山羊的一扇门.此后参赛者还有一次机会从未开启的两扇门中选择其中的一扇门.若选择的门后面是汽车，参赛者将得到这辆汽车；若选择的门后面是山羊，参赛者将一无所得.若你是参赛者，你会选择另一扇门吗？
有的学生可能觉得坚持原来的选择和选择另一扇门的概率都是一样的，甚至当时的许多数学家和概率论专家也是这样认为的.Savant利用条件概率计算得选择另一扇门得到汽车的概率为2/3，而坚持原来的选择的概率为1/3. 因此，为了提高获得汽车的概率，必须选择另一扇门.这一结论与直觉不符，所以至今仍有人觉得，坚持原来的选择和选择另一扇门的概率都是一样的.最后，Savant利用随机模拟支持了他的结论.这个实际问题使得学生对条件概率理解得非常透彻， 极大地激发了学生的主动性.另外，老师可以设计一个程序，验证Savant的结论.基于R软件，笔者编写了一个选择另一扇门得到汽车的概率的模拟结果，每次模拟的频率都接近于2/3. 现附源代码如下：
#########X=1，2，3；X=k：表示参赛者选择第k扇门.
#########X=1：表示参赛者选择第1扇门
#########Y=k-1，k=1，2，3：汽车在第k扇门.
v=0：#####计数：用于计算参赛者选择另一扇门
####得到汽车的累计频数，##
n=100000；
for （m in 1：n）
{X=1：####X=2####X=3
Y=floor（runif（1，1，4））；
if（Y==X） {c=0}
if（Y！=X） {c=1；}
v=v c；}
v； ####得到汽车的累计频数
v/n；####得到汽车的累计频率
三、提高学生解决实际问题的能力
概率论可以解决现实生活中的许多问题.设概率论在自然科学、社会科学乃至我们生活中的小问题都有着广泛的应用，老师在选取例子时，可以选择一些生活中常见的例子.例如在超市排队结账时，为什么感觉别人的队伍比自己所在队伍的结账速度快？简单的概率知识就可以解决这一问题.设有10条队伍在排队结账，大致能做到每个队伍的人员数大致相同，此时别人的队伍比自己所在队伍的结账速度快的概率即为0.9，而自己的队伍比别人快的概率仅为0.1.所以我们的感觉是对的.理由很简单，我们习惯于拿最快的那一个作为参照对象.而所有队伍中，自己队伍不是最慢的概率也是0.9，因此比上不足，比下有余.
参考文献
[1]陈希孺. 概率论与数理统计[M]. 北京： 科学出版社， 2003.
[2]茹诗松， 程依明， 浪晓龙. 概率论与数理统计教程[M]. 北京： 高等教育出版社， 2014.
[3]张德然. 概率论思维论[M]. 合肥： 中国科学技术大学出版社， 2004.
[4]苏淳. 概率论[M]. 北京： 科学出版社， 2015.
[5]李贤平. 概率论基础 [M]. 北京： 科学出版社， 2012.
关键词： 概率论 条件概率 教学方法
概率论虽是数学学科的一门分支，但与其他数学学科有很大的区别，即概率论的研究对象是不确定现象.这一差异导致学生对概率论课程中的一些概念和结论一知半解，存在许多疑惑.学生在概论学习过程中比较吃力，觉得概念非常抽象，学习效果差.笔者根据这几年的教学经验，提出概率论教学中的一些措施.
一、结合例子引入定义
概率论中有许多相似的定义和概念，学生对此容易混淆.老师可以通过几个例子同时引入这些相似的概念，以便学生通过例子理解概念.例如在讲解三个事件相互独立和两两独立时，可以引入以下两个例子.
例1. 设样本空间为S=（0，1），事件域为S的所有Borel子集构成， P为Lebsgue测度，设A= （0，1/2），B=（1/4，3/4），C=（1/16，5/16）∪（1/16，5/16）. 试讨论三个事件A， B， C中的任意2个事件是否独立.
例2 （续例1）. 设D=（3/8，7/8）， 试讨论三个事件A， B， D中的任意2个事件是否独立并考察等式P（ABD）=P（A） P（B）P（C）是否成立.
第一个例子给出了事件A， B， C两两独立的定义，而第二个例子给出了事件A， B， C相互独立的定义.接着学生自然会问：为什么不把第一个例子作为事件A， B， C相互独立的定义？两个事件独立指的是条件概率与无条件概率相等.自然地，事件A， B， C相互独立定义为条件概率与无条件概率相等.因此P（A|B，C）=P（A），即第二个例子中的等式必须成立.
二、激发学生的兴趣
激发学生的兴趣可以大幅增强学生的学习效果.在教学中，老师可以设计一些学生感兴趣的实际问题，学生逐步解决有趣的实际问题，进一步学习和理解概率论课程的定义、性质、基本方法和基本理论等.例如在讲授条件概率和Bayes公式时，使用经典的Monty Hall Problem问题.
例3（Monty Hall Problem问题）. 三扇门的后面只有一扇门藏着汽车，而其他两扇门藏着山羊.主持人事先知道汽车所在的位置.参赛者可以选择其中一扇门，但参赛者自己不能开启.在参赛者选择了某扇门后，主持人开启其他两扇门中有山羊的一扇门.此后参赛者还有一次机会从未开启的两扇门中选择其中的一扇门.若选择的门后面是汽车，参赛者将得到这辆汽车；若选择的门后面是山羊，参赛者将一无所得.若你是参赛者，你会选择另一扇门吗？
有的学生可能觉得坚持原来的选择和选择另一扇门的概率都是一样的，甚至当时的许多数学家和概率论专家也是这样认为的.Savant利用条件概率计算得选择另一扇门得到汽车的概率为2/3，而坚持原来的选择的概率为1/3. 因此，为了提高获得汽车的概率，必须选择另一扇门.这一结论与直觉不符，所以至今仍有人觉得，坚持原来的选择和选择另一扇门的概率都是一样的.最后，Savant利用随机模拟支持了他的结论.这个实际问题使得学生对条件概率理解得非常透彻， 极大地激发了学生的主动性.另外，老师可以设计一个程序，验证Savant的结论.基于R软件，笔者编写了一个选择另一扇门得到汽车的概率的模拟结果，每次模拟的频率都接近于2/3. 现附源代码如下：
#########X=1，2，3；X=k：表示参赛者选择第k扇门.
#########X=1：表示参赛者选择第1扇门
#########Y=k-1，k=1，2，3：汽车在第k扇门.
v=0：#####计数：用于计算参赛者选择另一扇门
####得到汽车的累计频数，##
n=100000；
for （m in 1：n）
{X=1：####X=2####X=3
Y=floor（runif（1，1，4））；
if（Y==X） {c=0}
if（Y！=X） {c=1；}
v=v c；}
v； ####得到汽车的累计频数
v/n；####得到汽车的累计频率
三、提高学生解决实际问题的能力
概率论可以解决现实生活中的许多问题.设概率论在自然科学、社会科学乃至我们生活中的小问题都有着广泛的应用，老师在选取例子时，可以选择一些生活中常见的例子.例如在超市排队结账时，为什么感觉别人的队伍比自己所在队伍的结账速度快？简单的概率知识就可以解决这一问题.设有10条队伍在排队结账，大致能做到每个队伍的人员数大致相同，此时别人的队伍比自己所在队伍的结账速度快的概率即为0.9，而自己的队伍比别人快的概率仅为0.1.所以我们的感觉是对的.理由很简单，我们习惯于拿最快的那一个作为参照对象.而所有队伍中，自己队伍不是最慢的概率也是0.9，因此比上不足，比下有余.
参考文献
[1]陈希孺. 概率论与数理统计[M]. 北京： 科学出版社， 2003.
[2]茹诗松， 程依明， 浪晓龙. 概率论与数理统计教程[M]. 北京： 高等教育出版社， 2014.
[3]张德然. 概率论思维论[M]. 合肥： 中国科学技术大学出版社， 2004.
[4]苏淳. 概率论[M]. 北京： 科学出版社， 2015.
[5]李贤平. 概率论基础 [M]. 北京： 科学出版社， 2012.