论文部分内容阅读
[摘 要]本文介绍了保形变换的数学定义与阐述，介绍了保形变换方法在物理学中求解静电场电势方面的应用。
[关键词]保形变换；静电场；复势；电势
中图分类号：TM151 文献标识码：A 文章编号：1009-914X（2015）30-0016-02
[Abstract]This paper introduces and describes the mathematical definition of conformal transformation，and introduces the use of conformal transformation method in solving the electrostatic field potential s in physics.
[Key words]conformal transformation； electrostatic field； complex potential； potential
保形变换是复变函数论中很重要的内容之一，其也是很多自然学科研究分析问题的方法之一，特别在物理学科中，在电磁场理论、弹性理论、热学及地球物理学等领域有着重要的运用。本文先简单的阐述保形变换的定义，然后通过物理实例，对保形变换在静电场中的求解电势的方法予以讨论
一、保形变换
保形变换是复变函数内容。对于复变函数（为复数），从几何上是复上的点集E到复平面上的点集G的变换。如果在区域D内的每一点都可微，则说是区域D内的解析函数。我们所说的保形变换一般都是由解析函数所实现的保形变换。
对于，其中：，设， 决定了D区域内一条有向简单连续曲线C，在某一点，曲线C在该点的切向量为
把平面和平面重叠，使点和重合，两个实轴平行，我们发现，C在的切线与C1在的切线所夹角即为，即曲线C在点的切线通过变换后，在处的切线转动了一个角度，只要，无论什么样的，都能保证通过与的两条曲线的夹角保持不变。以上说明，变换在点具有保角性。
同样可以证明，和分别是和的长度，有
，可以看作曲线C变换以后在点的伸缩系数。则伸缩系数在各个方向都相同，这个性质叫伸缩率不变性。
由此可得保形变换的定义：如果变换在点具有保角性和伸缩率不变性，则称在点是保角的，称之为保角变换，如果在区域D内的点一一保角变换，就称它是D内的保形变换。
常见的整线性变换（为复常数，），倒数变换，分式线性变换（是复常数，且）都是保形变换。
用保形变换方法可以求出许多无源无旋平面场的复势，以静电场为例，复势是一个保形变换，它把平面上的电力线和等势线所构成的正交曲线网映照成平面上与坐标轴平行的两族平行直线网。
例一：两块半无穷大的金属板连成一块无穷大的板，连接处绝缘，设两部分电势分别为和，求板外的电势。
解：由于金属板是无限长的，所以在垂直于金属板且垂直于分界面的平面上场的分布情况完全相同，这个静电场显然是一个平面场，取垂直于金属板的平面上的截痕为轴，在正半轴上的电势，在负半轴上的电势（设﹥），而在原点处绝缘，这个电场的复势是这样的一个保形变换，它把上半平面﹥0映射成条形域﹤﹤，并把正半实轴映照成条形域的下边=，把负半实轴映射成条形域的上边=。
变换把上半平面保形映照成条形域0﹤﹤，且把正半实轴映照成=0，负半实轴映射成=。
变换，把条形域0﹤﹤保形映照成条形域﹤﹤，且上边对应上边，下边对应下边。因而变换
例二：有一个用金属薄片制成的无限长圆柱形空筒，用极薄的两条绝缘材料沿着圆柱的母线把它分成相等的两片，设一片接地，另一片电势为1，求筒内的电势。
解：由于圆柱是无限长的，所以这个静电场是一个平面场。取一张垂直于圆柱的平面为平面，如图所示建立坐标系，并设圆柱的半径为1，此电场的复势是一个保形变换，它把单位圆区域﹤1，映射成平面上的条形域0﹤﹤1，并把上半圆周映射成=0，下半圆周映射成=1，先做变换
先把单位圆区域变成上半平面，并把上半圆周变为正半实轴，下半圆周变为负半实轴。这样问题就转化为例一的情形
，因而筒内的电势为
例三：设两个平行的无限大平板，的电势分别为，（设﹥），求两个平板之间的电势分布。
解：此即寻找保形变换把﹤r映射为﹤﹤，由图像分析可知，这个映射只是对原图像的平移、旋转和相似变换而成，因此它是一个整线性变换
把﹤r映射成﹤r
把﹤r映射成0﹤﹤2r
保形变换为条形域﹤﹤，则满足要求，故
例四：有两个共轴圆柱导体，，（0﹤﹤）上的电势分别为，，求两个圆柱间的电势。
此即把两个圆柱面区域﹤﹤，变换为两水平直线间区域﹤﹤，并且大圆柱面变换为上限直线，小圆柱面变换为下限直线。查保形变换表可知，变换的复势为：
综上所述，保形变换作为一种重要的数学工具方法，在静电场中求电势有着广泛的应用，同时在物理学的其他领域，也经常用到保形变换解决问题。我们应该在实际中学会利用保形变换解决问题，不仅能够提高我们的数学素养，也增加了利用数学工具解决物理问题的能力，是物理学习的有益补充。
参考文献
[1] 严振军.数学物理方法[M].合肥：中国科学技术大学出版社，2005.
[2] 曹伟杰.保形变换理论及其应用[M].上海：上海科学技术文献出版社，1988.
[3] 黄先春.保形映照手册[M].武汉：华中工学院出版社，1985.
作者简介
田硕，男，1980.12，郑州人，郑州航空工业管理学院讲师，研究方向：应用物理与电磁场
河南省教育厅高等学校重点科研项目，编号：15A140042。
[关键词]保形变换；静电场；复势；电势
中图分类号：TM151 文献标识码：A 文章编号：1009-914X（2015）30-0016-02
[Abstract]This paper introduces and describes the mathematical definition of conformal transformation，and introduces the use of conformal transformation method in solving the electrostatic field potential s in physics.
[Key words]conformal transformation； electrostatic field； complex potential； potential
保形变换是复变函数论中很重要的内容之一，其也是很多自然学科研究分析问题的方法之一，特别在物理学科中，在电磁场理论、弹性理论、热学及地球物理学等领域有着重要的运用。本文先简单的阐述保形变换的定义，然后通过物理实例，对保形变换在静电场中的求解电势的方法予以讨论
一、保形变换
保形变换是复变函数内容。对于复变函数（为复数），从几何上是复上的点集E到复平面上的点集G的变换。如果在区域D内的每一点都可微，则说是区域D内的解析函数。我们所说的保形变换一般都是由解析函数所实现的保形变换。
对于，其中：，设， 决定了D区域内一条有向简单连续曲线C，在某一点，曲线C在该点的切向量为
把平面和平面重叠，使点和重合，两个实轴平行，我们发现，C在的切线与C1在的切线所夹角即为，即曲线C在点的切线通过变换后，在处的切线转动了一个角度，只要，无论什么样的，都能保证通过与的两条曲线的夹角保持不变。以上说明，变换在点具有保角性。
同样可以证明，和分别是和的长度，有
，可以看作曲线C变换以后在点的伸缩系数。则伸缩系数在各个方向都相同，这个性质叫伸缩率不变性。
由此可得保形变换的定义：如果变换在点具有保角性和伸缩率不变性，则称在点是保角的，称之为保角变换，如果在区域D内的点一一保角变换，就称它是D内的保形变换。
常见的整线性变换（为复常数，），倒数变换，分式线性变换（是复常数，且）都是保形变换。
用保形变换方法可以求出许多无源无旋平面场的复势，以静电场为例，复势是一个保形变换，它把平面上的电力线和等势线所构成的正交曲线网映照成平面上与坐标轴平行的两族平行直线网。
例一：两块半无穷大的金属板连成一块无穷大的板，连接处绝缘，设两部分电势分别为和，求板外的电势。
解：由于金属板是无限长的，所以在垂直于金属板且垂直于分界面的平面上场的分布情况完全相同，这个静电场显然是一个平面场，取垂直于金属板的平面上的截痕为轴，在正半轴上的电势，在负半轴上的电势（设﹥），而在原点处绝缘，这个电场的复势是这样的一个保形变换，它把上半平面﹥0映射成条形域﹤﹤，并把正半实轴映照成条形域的下边=，把负半实轴映射成条形域的上边=。
变换把上半平面保形映照成条形域0﹤﹤，且把正半实轴映照成=0，负半实轴映射成=。
变换，把条形域0﹤﹤保形映照成条形域﹤﹤，且上边对应上边，下边对应下边。因而变换
例二：有一个用金属薄片制成的无限长圆柱形空筒，用极薄的两条绝缘材料沿着圆柱的母线把它分成相等的两片，设一片接地，另一片电势为1，求筒内的电势。
解：由于圆柱是无限长的，所以这个静电场是一个平面场。取一张垂直于圆柱的平面为平面，如图所示建立坐标系，并设圆柱的半径为1，此电场的复势是一个保形变换，它把单位圆区域﹤1，映射成平面上的条形域0﹤﹤1，并把上半圆周映射成=0，下半圆周映射成=1，先做变换
先把单位圆区域变成上半平面，并把上半圆周变为正半实轴，下半圆周变为负半实轴。这样问题就转化为例一的情形
，因而筒内的电势为
例三：设两个平行的无限大平板，的电势分别为，（设﹥），求两个平板之间的电势分布。
解：此即寻找保形变换把﹤r映射为﹤﹤，由图像分析可知，这个映射只是对原图像的平移、旋转和相似变换而成，因此它是一个整线性变换
把﹤r映射成﹤r
把﹤r映射成0﹤﹤2r
保形变换为条形域﹤﹤，则满足要求，故
例四：有两个共轴圆柱导体，，（0﹤﹤）上的电势分别为，，求两个圆柱间的电势。
此即把两个圆柱面区域﹤﹤，变换为两水平直线间区域﹤﹤，并且大圆柱面变换为上限直线，小圆柱面变换为下限直线。查保形变换表可知，变换的复势为：
综上所述，保形变换作为一种重要的数学工具方法，在静电场中求电势有着广泛的应用，同时在物理学的其他领域，也经常用到保形变换解决问题。我们应该在实际中学会利用保形变换解决问题，不仅能够提高我们的数学素养，也增加了利用数学工具解决物理问题的能力，是物理学习的有益补充。
参考文献
[1] 严振军.数学物理方法[M].合肥：中国科学技术大学出版社，2005.
[2] 曹伟杰.保形变换理论及其应用[M].上海：上海科学技术文献出版社，1988.
[3] 黄先春.保形映照手册[M].武汉：华中工学院出版社，1985.
作者简介
田硕，男，1980.12，郑州人，郑州航空工业管理学院讲师，研究方向：应用物理与电磁场
河南省教育厅高等学校重点科研项目，编号：15A140042。