向量妙解三角形“四心”

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  摘 要 三角形“四心”(如垂心、重心、外心、内心)与平面向量结合在一起的几何问题是近年来高考命题的热点,考生解决此类问题时错误率较高,甚至束手无策。而掌握好三角形“四心”的定义,利用向量的基本性质能够更直接快捷地解决此类问题。
  关键词 向量解法;三角形;四心
  中图分类号:G632 文献标识码:A 文章编号:1002-7661(2019)03-0203-02
  三角形“四心”(如垂心、重心、外心、内心)与平面向量结合在一起的几何问题是近年来高考命题的热点,考生解决此类问题时错误率较高,甚至束手无策。而掌握好三角形“四心”的定义,利用向量的基本性质能够更直接快捷地解决此类问题。因此笔者搜集了部分资料,结合多年积累的教学经验,就三角形“四心”与平面向量的联系作一个归纳,并利用平面向量的相关知识求解三角形“四心”的问题。
  一、垂心(orthocenter)——各边高线的交点:高线与对应边垂直
  【典例】已知是平面上一定点,是平面上不共线的三个点,动点满足,求证:的轨迹过的垂心。
  分析:由题意得:
  ,即点在过点且垂直于的直线上,所以动点的轨迹过的垂心,如图1所示。
  点评:本题考查平面向量的有关运算,两向量数量积为零它们所在的直线垂直,三角形垂心定义等相关知识的巧妙结合。
  二、重心(barycenter)——各边中线的交点:重心将中线长度分成
  【典例】已知是平面上一定点,是平面上不共线的三个点,动点满足,求证:的轨迹过的重心。
  分析:由题意得:,当时,表示边上的中线所在直线的向量,所以动点的轨迹过的重心,如图2所示。
  点评:本题考查向量加法的平行四边形法则,平行四边形的对角线互相平分,三角形重心定义等相关知识的融合。
  三、外心(circumcenter)——各边中垂线的交点(外接圆的圆心):外心到三角形各顶点的距离相等
  【典例】已知平面上的一定点,是平面上不共线的三个点,动点满足,求证:的轨迹过的外心。
  分析:过中点,当时表示垂直于的向量,所以在垂直平分线上,所以动点的轨迹过的外心,如图3所示。
  点评:本题以向量为载体对三角形的外心进行考查,利用了共线向量定理等相关知识。
  四、内心(incenter)——各角平分线的交点(内切圆的圆心):角平分线上的任意点到角两边的距离相等
  【典例】已知是平面上一定点,是平面上不共线的三个点,动点满足,求证:的轨迹过的内心。
  分析:由题意得:,∴当时,表示的平分线所在直线方向的向量,故动点的轨迹过的内心,如图4所示。
  点评:本题考查的单位方向向量,向量的加减法,菱形的基本性质,角平分线的性质,三角形内心定义等相关知识的深度融合。
  以上利用向量妙解三角形“四心”问题的典例,将“形”和“数”紧密的结合在一起,使学生对三角形的“四心”在向量中的表现形式有了进一步的认识,看到了其内在的统一,以及新形式、新特点。平时教学中有意识的对数学知识点进行较为系统的整合,充分考查数学学科核心素养的六个主要方面,即数学抽象、逻辑推理、数学建模、運算能力、直观想象和数据分析。并渗透七大数学基本思想方法:函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、化归与转化思想、特殊与一般思想、有限与无限的思想、或然与必然的思想。无论在提高学生解题能力方面,还是在开拓学生视野方面都大有神益,更能提高我们教师教学的有效性。
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