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【摘要】民族地区的数学教育应充分彰显民族数学文化，将民族数学文化引进数学课堂，利用民族数学文化辅助数学教育。为了创设基于民族数学文化的教学情境，使数学内容的呈现贴近民族学生的生活实际，增强民族地区数学教育的文化适应性，让已经存在于民族学生头脑中的那些非正规的数学知识和数学体验上升发展为科学的数学结论，让民族学生从中感受到民族文化的数学魅力，增强民族自豪感和数学学习的自信心，体验数学学习的乐趣，本教学设计从苗族服饰所承载的几何图形出发，让学生从中发现“和的完全平方公式”，并在后续的教学中进一步让学生从苗族服饰中探究得出（a+2b）2的结果，充分体现了民族数学文化的教育价值，为民族地区的数学教学提供参考。
【关键词】民族数学文化；数学情境；教学设计；完全平方公式
民族数学文化的意义不仅在于它是民族文化的重要组成部分，最主要还在于它对学校教育的现实作用和价值。少数民族的日常生活蕴含着丰富的数学知识，如各种几何图形、轴对称与中心对称、平移、全等形、相似形、度量衡、数列等[1]。民族地区的数学教育应充分彰显民族数学文化，将民族数学文化引进数学课堂，利用民族数学文化辅助数学教育，为民族地区的数学教育提供具有本地区、本民族文化内涵的数学教学资源，为基础教育阶段的学生提供必要的数学学习背景资源，促进民族学生的数学学习，提高民族地区的数学教学质量。
在研究民族数学文化与民族数学史的同时，本研究团队注重民族数学文化在数学教育中的应用，出版了《苗侗数学文化与数学情境教学》一书，与黔东南州多所民族地区中小学合作，开展民族数学文化进课堂的教学实验研究。下面，笔者以“苗族服饰图案”为数學情境开展“完全平方公式”的教学设计为例，在教学实践的基础上进行教学反思。
一、知识点
完全平方公式
二、对应章节
人教版《数学》八年级上册14.2.2完全平方公式
三、数学情境
苗族服饰被誉为“穿在身上的历史”，是苗族人民的一种原始符号和象征，是一种规则和历史的存根，一种无字的史书，一种无声语言和标志[2]。图1（见下页）是黔东南苗族侗族自治州苗族服饰中一个常见的图案，苗族地区的学生对这些图案非常熟悉。
四、教学设计
（一）设计意图
将民族数学文化引进中学数学课堂，利用民族学生所熟悉的服饰材料作为数学问题情境，让学生在观察、思考、联想等过程中学习数学知识，使学生体验到生活中处处有数学，让学生很好地理解完全平方公式的几何意义，发展学生的几何直观，并进一步感悟数学的思想方法。
（二）教学过程
1.复习旧知，导入情境
师：上节课我们利用苗族背带的图案（如图2）探究了平方差公式，请大家回忆一下我们是怎么研究的？
（老师用多媒体展示图2、图3，并做进一步解释；学生回忆，进一步思考）
生：我记得老师是利用“四个梯形面积之和等于两个正方形的面积之差”来解释的。
师：很好，谁来具体推导一下？
生：可以假设大正方形ABCD的边长为a，小正方形EFGH的边长为b，得到梯形的上底是b，下底是a，高是a-b2。根据梯形面积公式计算，每个梯形的面积为：S=（a+b）（a-b）2÷2=（a+b）（a-b）4，于是四个相同的等腰梯形的面积和为4×（a+b）（a-b）4=（a+b）（a-b）。然后，我们又知道四个等腰梯形的面积之和是两个正方形的面积之差，也就是大正方形ABCD的面积减去小正方形EFGH的面积，这样就得到平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）。
师：很好。除此之外，我们还给出了下面的图形（如图4），进一步帮助大家理解平方差公式。大家也可以再回忆一下。
师：图4的右半部分可看成两个正方形与两个相同的长方形的组合，如图5（见下页）所示。同学们，你们在生活中见过类似的图形吗？
师：我这里有一件我们苗族同胞的衣服，所用布料如图6所示。你能在当中找到如图5所示的几何图形吗？大家试着找一找，并画出其几何图示。
（学生细心观察，动脑思考，动手操作，画出图形；教师巡视）
师：我观察了一下，大多数同学能从图6中找到需要的图形，并做出其几何图示。如图7、图8所示。（多媒体演示）
2.引出新知，公式探究
师：接来下的问题是，如图8所示的几何图形有什么特殊含义吗？请大家思考一下。
（停顿1分钟，生思考）
师：这个图形也表达了某个代数公式的几何意义。类比我们上节课研究的平方差公式，大家想一想，这个公式可能会是什么样的？
（停顿1分钟，生思考）
师：我们上节课研究平方差公式的几何意义，画出图形后是利用什么来解释的？刚刚复习的时候我也重复过了。这位同学，你来说说看。
生：我记得好像是利用面积来解释的。
师：利用面积！如何利用面积？这个图（师指着图8），你利用面积能有什么发现？
生：它（图8）可以看成一个大正方形被分成两个小正方形与两个长方形的面积之和。
师：是的。那它表达了一个什么代数公式呢？
生（停顿）：这个……这个……我还没想好。
师：大家一起来想一想，这个图形表达了一个什么代数公式？注意啊（教师进一步提示），正方形的面积，我们以前说过了，也就是一个数的平方，这里有一个大正方形，一个小正方形。另外，长方形的面积，也就是两个数的乘积，这里有两个长方形，而且是两个相同的长方形。大家再仔细想一想。
生：老师，我知道了。假设AB=AD=a，BG=BF=b，这个图的意思就是（a+b）2=a2+b2+2ab。 师：很好。你说图8可以看成（a+b）2（强调：读作a与b的和的平方），并且你已经看出结果来了。大家再对照图形看看是不是这么回事。
（停顿1分钟，生思考）
师：下面，请两位同学上黑板来演示一下，利用前面所学的多项式的乘法计算（a+b）2的结果，再与刚才那位同学所看出来的结果做对比，看结果是否一致，其余同学在下面自己验证一下。
（师请两位同学上黑板演算，巩固前面所学的多项式的乘法，并让学生从代数与几何两个角度去研究a与b的和的平方）
师：好，大家都利用多项式乘法验证了（a+b）2确实等于a2+2ab+b2，这中间的交叉项的系数为2，这点一定不要搞错了，大家想想这个图形就很容易记住为什么这个系数是2了。这就是我们今天学习的完全平方公式。
3.公式拓展
师：现在我们已经得到了a与b的和的平方，其结果是（a+b）2=a2+2ab+b2。我想请大家思考一下，如果不是a与b的和的平方，而是a与b的差的平方，又该怎么办呢？
生：可以用多项式的乘法把它算出来。
师：很好，大家算一下看结果如何。
（停顿3分钟，教师巡视）
师：你的结果是多少？
五、教学反思
1.创设具有民族数学文化的教学情境，增强民族地区数学教育的文化适应性
创设具有民族数学文化的教学情境，以“民族数学文化情境”作为民族地区学生数学学习的思维起点，使数学内容的呈现贴近民族学生的生活实际，增强民族地区数学教育的文化适应性，让已经存在于民族学生头脑中的那些非正规的数学知识和数学体验发展上升为科学的数学结论，让民族地区学生从中感受到民族文化的数学魅力，增加民族自豪感和数学学习的自信心，体验数学学习的乐趣。
本教学设计关照民族数学文化在数学教学中的应用，从苗族服饰所承载的几何图形出发，让学生从中发现“和的完全平方公式”（事实上前一节课的教学设计也是利用苗族背带中的一个图案，师生共同探究得出了“平方差公式”）；并在后续的教学中进一步让学生探究得出（a+2b）2的结果。其实，很多地区教室的窗户就是图9的结构，教师不妨就地取材，做类似处理。
2.注意情境的关联性和数学教学的连续性
本教学设计从平方差公式的几何图示出发，让学生从中发现（a+b）2=a2+2ab+b2的几何图示。这种关注数学情境的前后关联性和数学教学的连续性的做法，是非常有效的。这样的教学，可以使学生感到新知识其实是从旧知识中自然延伸出来的，正所谓“温故而知新”。
同时，这节课的教学可以为学生接下来学习公式法分解因式埋下伏笔。想得更远一点，这节课甚至可以為将来探究勾股定理的证明打下基础。
3.重视数学思想方法的教学
本教学设计的一大亮点是突出数学思想方法的教学。上述设计着重体现了数形结合思想（特别是几何直观）、整体思想和代换思想在数学教学和数学学习中的应用。
从学生发展的角度看，数学知识本身固然重要，但真正对学生以后的学习、生活和工作长期起作用并使其受益的是数学思想方法。数学思想方法是数学的灵魂和精髓，是人们对数学本质的认识，是对数学知识和数学问题的进一步抽象和概括，是数学科学赖以生存和发展的重要因素。因此，思想方法的教学始终应是数学教学的核心之一。
4.将数学教学延伸到课外
本节课最后设计了一个探究式问题，让学生去研究“个位是5的两位数的平方规律研究及其推广与应用”。这个问题很有意思，有兴趣的老师也不妨试一试。这样的教学设计，将学生的数学学习从课内延伸到课外，有助于提高学生的数学学习兴趣和热情，促进学生掌握数学知识和提高数学能力。
此外，教师还可以鼓励学生在课外利用多项式乘法计算等公式，为其今后在高中数学中应用乘法公式打下基础，同时为二项式定理的学习埋下伏笔。
参考文献：
[1]吕传汉，张洪林.民族数学文化与数学教育[J].数学教育学报，1992（1）：101-104.
[2]罗永超，张和平，肖绍菊，等.苗侗数学文化与数学情境教学[M].北京：民族出版社，2012：56.
【关键词】民族数学文化；数学情境；教学设计；完全平方公式
民族数学文化的意义不仅在于它是民族文化的重要组成部分，最主要还在于它对学校教育的现实作用和价值。少数民族的日常生活蕴含着丰富的数学知识，如各种几何图形、轴对称与中心对称、平移、全等形、相似形、度量衡、数列等[1]。民族地区的数学教育应充分彰显民族数学文化，将民族数学文化引进数学课堂，利用民族数学文化辅助数学教育，为民族地区的数学教育提供具有本地区、本民族文化内涵的数学教学资源，为基础教育阶段的学生提供必要的数学学习背景资源，促进民族学生的数学学习，提高民族地区的数学教学质量。
在研究民族数学文化与民族数学史的同时，本研究团队注重民族数学文化在数学教育中的应用，出版了《苗侗数学文化与数学情境教学》一书，与黔东南州多所民族地区中小学合作，开展民族数学文化进课堂的教学实验研究。下面，笔者以“苗族服饰图案”为数學情境开展“完全平方公式”的教学设计为例，在教学实践的基础上进行教学反思。
一、知识点
完全平方公式
二、对应章节
人教版《数学》八年级上册14.2.2完全平方公式
三、数学情境
苗族服饰被誉为“穿在身上的历史”，是苗族人民的一种原始符号和象征，是一种规则和历史的存根，一种无字的史书，一种无声语言和标志[2]。图1（见下页）是黔东南苗族侗族自治州苗族服饰中一个常见的图案，苗族地区的学生对这些图案非常熟悉。
四、教学设计
（一）设计意图
将民族数学文化引进中学数学课堂，利用民族学生所熟悉的服饰材料作为数学问题情境，让学生在观察、思考、联想等过程中学习数学知识，使学生体验到生活中处处有数学，让学生很好地理解完全平方公式的几何意义，发展学生的几何直观，并进一步感悟数学的思想方法。
（二）教学过程
1.复习旧知，导入情境
师：上节课我们利用苗族背带的图案（如图2）探究了平方差公式，请大家回忆一下我们是怎么研究的？
（老师用多媒体展示图2、图3，并做进一步解释；学生回忆，进一步思考）
生：我记得老师是利用“四个梯形面积之和等于两个正方形的面积之差”来解释的。
师：很好，谁来具体推导一下？
生：可以假设大正方形ABCD的边长为a，小正方形EFGH的边长为b，得到梯形的上底是b，下底是a，高是a-b2。根据梯形面积公式计算，每个梯形的面积为：S=（a+b）（a-b）2÷2=（a+b）（a-b）4，于是四个相同的等腰梯形的面积和为4×（a+b）（a-b）4=（a+b）（a-b）。然后，我们又知道四个等腰梯形的面积之和是两个正方形的面积之差，也就是大正方形ABCD的面积减去小正方形EFGH的面积，这样就得到平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）。
师：很好。除此之外，我们还给出了下面的图形（如图4），进一步帮助大家理解平方差公式。大家也可以再回忆一下。
师：图4的右半部分可看成两个正方形与两个相同的长方形的组合，如图5（见下页）所示。同学们，你们在生活中见过类似的图形吗？
师：我这里有一件我们苗族同胞的衣服，所用布料如图6所示。你能在当中找到如图5所示的几何图形吗？大家试着找一找，并画出其几何图示。
（学生细心观察，动脑思考，动手操作，画出图形；教师巡视）
师：我观察了一下，大多数同学能从图6中找到需要的图形，并做出其几何图示。如图7、图8所示。（多媒体演示）
2.引出新知，公式探究
师：接来下的问题是，如图8所示的几何图形有什么特殊含义吗？请大家思考一下。
（停顿1分钟，生思考）
师：这个图形也表达了某个代数公式的几何意义。类比我们上节课研究的平方差公式，大家想一想，这个公式可能会是什么样的？
（停顿1分钟，生思考）
师：我们上节课研究平方差公式的几何意义，画出图形后是利用什么来解释的？刚刚复习的时候我也重复过了。这位同学，你来说说看。
生：我记得好像是利用面积来解释的。
师：利用面积！如何利用面积？这个图（师指着图8），你利用面积能有什么发现？
生：它（图8）可以看成一个大正方形被分成两个小正方形与两个长方形的面积之和。
师：是的。那它表达了一个什么代数公式呢？
生（停顿）：这个……这个……我还没想好。
师：大家一起来想一想，这个图形表达了一个什么代数公式？注意啊（教师进一步提示），正方形的面积，我们以前说过了，也就是一个数的平方，这里有一个大正方形，一个小正方形。另外，长方形的面积，也就是两个数的乘积，这里有两个长方形，而且是两个相同的长方形。大家再仔细想一想。
生：老师，我知道了。假设AB=AD=a，BG=BF=b，这个图的意思就是（a+b）2=a2+b2+2ab。 师：很好。你说图8可以看成（a+b）2（强调：读作a与b的和的平方），并且你已经看出结果来了。大家再对照图形看看是不是这么回事。
（停顿1分钟，生思考）
师：下面，请两位同学上黑板来演示一下，利用前面所学的多项式的乘法计算（a+b）2的结果，再与刚才那位同学所看出来的结果做对比，看结果是否一致，其余同学在下面自己验证一下。
（师请两位同学上黑板演算，巩固前面所学的多项式的乘法，并让学生从代数与几何两个角度去研究a与b的和的平方）
师：好，大家都利用多项式乘法验证了（a+b）2确实等于a2+2ab+b2，这中间的交叉项的系数为2，这点一定不要搞错了，大家想想这个图形就很容易记住为什么这个系数是2了。这就是我们今天学习的完全平方公式。
3.公式拓展
师：现在我们已经得到了a与b的和的平方，其结果是（a+b）2=a2+2ab+b2。我想请大家思考一下，如果不是a与b的和的平方，而是a与b的差的平方，又该怎么办呢？
生：可以用多项式的乘法把它算出来。
师：很好，大家算一下看结果如何。
（停顿3分钟，教师巡视）
师：你的结果是多少？
五、教学反思
1.创设具有民族数学文化的教学情境，增强民族地区数学教育的文化适应性
创设具有民族数学文化的教学情境，以“民族数学文化情境”作为民族地区学生数学学习的思维起点，使数学内容的呈现贴近民族学生的生活实际，增强民族地区数学教育的文化适应性，让已经存在于民族学生头脑中的那些非正规的数学知识和数学体验发展上升为科学的数学结论，让民族地区学生从中感受到民族文化的数学魅力，增加民族自豪感和数学学习的自信心，体验数学学习的乐趣。
本教学设计关照民族数学文化在数学教学中的应用，从苗族服饰所承载的几何图形出发，让学生从中发现“和的完全平方公式”（事实上前一节课的教学设计也是利用苗族背带中的一个图案，师生共同探究得出了“平方差公式”）；并在后续的教学中进一步让学生探究得出（a+2b）2的结果。其实，很多地区教室的窗户就是图9的结构，教师不妨就地取材，做类似处理。
2.注意情境的关联性和数学教学的连续性
本教学设计从平方差公式的几何图示出发，让学生从中发现（a+b）2=a2+2ab+b2的几何图示。这种关注数学情境的前后关联性和数学教学的连续性的做法，是非常有效的。这样的教学，可以使学生感到新知识其实是从旧知识中自然延伸出来的，正所谓“温故而知新”。
同时，这节课的教学可以为学生接下来学习公式法分解因式埋下伏笔。想得更远一点，这节课甚至可以為将来探究勾股定理的证明打下基础。
3.重视数学思想方法的教学
本教学设计的一大亮点是突出数学思想方法的教学。上述设计着重体现了数形结合思想（特别是几何直观）、整体思想和代换思想在数学教学和数学学习中的应用。
从学生发展的角度看，数学知识本身固然重要，但真正对学生以后的学习、生活和工作长期起作用并使其受益的是数学思想方法。数学思想方法是数学的灵魂和精髓，是人们对数学本质的认识，是对数学知识和数学问题的进一步抽象和概括，是数学科学赖以生存和发展的重要因素。因此，思想方法的教学始终应是数学教学的核心之一。
4.将数学教学延伸到课外
本节课最后设计了一个探究式问题，让学生去研究“个位是5的两位数的平方规律研究及其推广与应用”。这个问题很有意思，有兴趣的老师也不妨试一试。这样的教学设计，将学生的数学学习从课内延伸到课外，有助于提高学生的数学学习兴趣和热情，促进学生掌握数学知识和提高数学能力。
此外，教师还可以鼓励学生在课外利用多项式乘法计算等公式，为其今后在高中数学中应用乘法公式打下基础，同时为二项式定理的学习埋下伏笔。
参考文献：
[1]吕传汉，张洪林.民族数学文化与数学教育[J].数学教育学报，1992（1）：101-104.
[2]罗永超，张和平，肖绍菊，等.苗侗数学文化与数学情境教学[M].北京：民族出版社，2012：56.