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摘 要 在每个人的实践和认识过程中都会经历错误。错误在认识过程中是不可避免的。数学学习的过程实际上是一个发现错误、分析错误、最终解决问题的过程。其中有些错误在学生的数学问题解决过程中起着关键性的作用，这类错误的出现正是学生思维缺陷、认知冲突的反映。学生在问题解决的过程中经历了这类错误，反复地从失败与挫折中总结经验和教训，就会对问题解决的过程有深刻的把握，并能深入地认识到自己出现错误的真正原因，获得真实的发展。
关键词 错误 合理性 小学数学 问题解决过程
中图分类号：G424 文献标识码：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdks.2016.03.039
Abstract During the process of practice and cognition everyone will go through error. Error is inevitable in cognition process. The process of learning mathematics is actually a process of finding and analyzing error and ultimately to solve the problem. Some of these errors play a key role in students' mathematical problem-solving process. The appearance of this kind of error is the reflection of the students' thinking and cognition conflict. Students' experience of this kind of error in the process of problem solving will have a profound grasp of the problem solving process and deeply understand the real cause of their own mistakes to obtain the real development.
Key words error； rationality； primary mathematics； problem-solving process
人们在探寻真理的路途中，不断地思索着错误的问题。在每个人的实践和认识过程中都会经历错误。错误在认识过程中是不可避免的。它与真理是人们认识过程中的一对孪生姐妹，人们不能不去认识真理，人们也不能不犯错误。人类的进化、生命的进化历程也是一个经历错误、纠正错误、运用错误的过程。怀特海说过“畏惧错误就是毁灭进步”；恩格斯也说过“要明确地懂得理论，最好的道理就是从本身的错误当中，从亲身经历的痛苦体验中去学习”，这些关于错误的格言警句从不同的角度让我们感受到错误的价值。人类的认识和实践是在不断的探索中获得提升的，只有经历了实践—认识—再实践—再认识的多次反复，才能得以逐渐升华。哲学上，将这种与实践·认识活动的探索性和曲折性所决定的、不可避免地要发生的错误，称为合理错误。这类合理错误在人类的认识和实践过程中起着关键性的作用。
同样，在小学数学问题解决过程中，学生也会遇到各种各样的错误。数学学习的过程实际上是一个发现错误、分析错误、最终达到解决问题的过程。其中有些错误在学生的数学问题解决过程中起着关键性的作用，这类错误的出现正是学生思维缺陷、认知冲突的反映。学生在问题解决的过程中经历了这类错误，反复地从失败与挫折中总结经验和教训，就会对问题解决的过程有深刻的把握，并能深入地认识到自己存在错误的真正原因，获得真实的发展。
例如，在《百分数应用题》的课堂教学中，有这样一道例题：光明小学计划购买16个篮球，实际购买了20个篮球，实际购买的篮球比原计划多百分之几？
学生很快计算出“实际比原计划多25%”，教师有意追问了一句：“根据实际比原计划多25%，猜一猜，原计划购买的篮球比实际少百分之几？”学生（异口同声地）回答：“原计划比实际少25%。”
师：请大家再来算一下吧。
一个学生说道：“怎么算出来是20%呀？”
旁边的学生说：“我也得出同样的结论。”
这时，一个同学说：（20-16）€？6=25%，正好是25%。
五六名同学都跑到得出25%的学生旁边，经过争论，学生们也开始意识到自己的错误，也逐渐清楚了“实际比计划多25%”指多“原计划的25%”，“计划比实际少25%”是指少“实际的25%”，“计划的25%”和“实际的25%”是不相等的，因为单位1的量不同。
通过学生之间的争论、思维的碰撞、尝试性地解决问题、寻找出现错误的根源，最终理解了“量”与“率”的区别以及单位“1”的问题。经历了这一过程的学生，必定较好地掌握了这一知识点的学习。课堂上出现的这类错误即是我们所说的学生在数学问题解决过程中的合理错误。
瑞士著名心理学家皮亚杰（Jean Piaget）认为儿童的认知发展一般要经历四个阶段：感知运动阶段（0～2岁）、前运算阶段（2～7岁）、具体运算阶段（7～12岁）和形式运算阶段（1～15岁）。小学阶段学生的认知发展正好处于具体运算阶段，这一阶段的儿童思维发生了质的变化，具体来说主要有三个层次：（1）直观行动思维，它是以实际的操作行动为依托的数学思维。（2）具体形象思维，它是以表象为依托的数学思维。（3）抽象逻辑思维，它是脱离了形象而依赖于概念进行的数学思维。小学阶段学生的思维水平正是经历由直观行动思维、具体形象思维向抽象逻辑思维发展的过程。在这个过程中，学生运用已有的数学知识解决问题的能力也在发生变化。但是不可避免，在这样一个过程中学生会经历各种类型的错误。
关键词 错误 合理性 小学数学 问题解决过程
中图分类号：G424 文献标识码：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdks.2016.03.039
Abstract During the process of practice and cognition everyone will go through error. Error is inevitable in cognition process. The process of learning mathematics is actually a process of finding and analyzing error and ultimately to solve the problem. Some of these errors play a key role in students' mathematical problem-solving process. The appearance of this kind of error is the reflection of the students' thinking and cognition conflict. Students' experience of this kind of error in the process of problem solving will have a profound grasp of the problem solving process and deeply understand the real cause of their own mistakes to obtain the real development.
Key words error； rationality； primary mathematics； problem-solving process
人们在探寻真理的路途中，不断地思索着错误的问题。在每个人的实践和认识过程中都会经历错误。错误在认识过程中是不可避免的。它与真理是人们认识过程中的一对孪生姐妹，人们不能不去认识真理，人们也不能不犯错误。人类的进化、生命的进化历程也是一个经历错误、纠正错误、运用错误的过程。怀特海说过“畏惧错误就是毁灭进步”；恩格斯也说过“要明确地懂得理论，最好的道理就是从本身的错误当中，从亲身经历的痛苦体验中去学习”，这些关于错误的格言警句从不同的角度让我们感受到错误的价值。人类的认识和实践是在不断的探索中获得提升的，只有经历了实践—认识—再实践—再认识的多次反复，才能得以逐渐升华。哲学上，将这种与实践·认识活动的探索性和曲折性所决定的、不可避免地要发生的错误，称为合理错误。这类合理错误在人类的认识和实践过程中起着关键性的作用。
同样，在小学数学问题解决过程中，学生也会遇到各种各样的错误。数学学习的过程实际上是一个发现错误、分析错误、最终达到解决问题的过程。其中有些错误在学生的数学问题解决过程中起着关键性的作用，这类错误的出现正是学生思维缺陷、认知冲突的反映。学生在问题解决的过程中经历了这类错误，反复地从失败与挫折中总结经验和教训，就会对问题解决的过程有深刻的把握，并能深入地认识到自己存在错误的真正原因，获得真实的发展。
例如，在《百分数应用题》的课堂教学中，有这样一道例题：光明小学计划购买16个篮球，实际购买了20个篮球，实际购买的篮球比原计划多百分之几？
学生很快计算出“实际比原计划多25%”，教师有意追问了一句：“根据实际比原计划多25%，猜一猜，原计划购买的篮球比实际少百分之几？”学生（异口同声地）回答：“原计划比实际少25%。”
师：请大家再来算一下吧。
一个学生说道：“怎么算出来是20%呀？”
旁边的学生说：“我也得出同样的结论。”
这时，一个同学说：（20-16）€？6=25%，正好是25%。
五六名同学都跑到得出25%的学生旁边，经过争论，学生们也开始意识到自己的错误，也逐渐清楚了“实际比计划多25%”指多“原计划的25%”，“计划比实际少25%”是指少“实际的25%”，“计划的25%”和“实际的25%”是不相等的，因为单位1的量不同。
通过学生之间的争论、思维的碰撞、尝试性地解决问题、寻找出现错误的根源，最终理解了“量”与“率”的区别以及单位“1”的问题。经历了这一过程的学生，必定较好地掌握了这一知识点的学习。课堂上出现的这类错误即是我们所说的学生在数学问题解决过程中的合理错误。
瑞士著名心理学家皮亚杰（Jean Piaget）认为儿童的认知发展一般要经历四个阶段：感知运动阶段（0～2岁）、前运算阶段（2～7岁）、具体运算阶段（7～12岁）和形式运算阶段（1～15岁）。小学阶段学生的认知发展正好处于具体运算阶段，这一阶段的儿童思维发生了质的变化，具体来说主要有三个层次：（1）直观行动思维，它是以实际的操作行动为依托的数学思维。（2）具体形象思维，它是以表象为依托的数学思维。（3）抽象逻辑思维，它是脱离了形象而依赖于概念进行的数学思维。小学阶段学生的思维水平正是经历由直观行动思维、具体形象思维向抽象逻辑思维发展的过程。在这个过程中，学生运用已有的数学知识解决问题的能力也在发生变化。但是不可避免，在这样一个过程中学生会经历各种类型的错误。