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【摘要】本文从高专《概率统计》习题课教学的视角,从锻炼逆向思维、一题多解、题目演变训练、构造性的解题技巧四个方面谈谈如何培养学生的创新能力。
【关键词】概率统计 人才培养 创新能力
【资金项目】琼台师范高等专科学校教育教学改革研究项目(批准号:QTJY201301)
【中图分类号】G71 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089(2015)03-0137-01
高校承担着人才培养的重任。只有富于创新意识和创造能力的人才,才能适应知识经济时代的发展,应付未来社会的挑战。笔者从事师专《概率统计》教学十多年,对通过习题教学来培养学生的创新能力深有体会,下面就谈谈本人的一些做法。
一、通过锻炼逆向思维培养创新能力
众所周知,一般人都是以正向思维主导解决问题的思路,但这往往对解决问题带来曲折,但如果从逆向思路考虑,往往找到捷径。运用逆向思维解决问题,这是创新能力的体现。
例1 设在100只显像管中有8只次品,现从中任取5只显像管,求其中有次品的概率。
解:设A表示事件“取出的5只显像管中有次品”,Ai表示事件“取出的5只显像管中恰有i件次品”,i=0,1,2,3,4,5,显然Ai∩Aj=?覫,(0≤i 解法一 :因为A=A1∪A2∪A3∪A4∪A5,并且
P(Ai)=■,i=0,1,2,3,4,5
所以 P(A)=■P(A■)=■■
显然,利用这个式子计算比较困难。但如果用事件的逆处理,那就简单得多了!
解法二:因为■=A0,所以
P(A)=1-P(■)=1-P(A0)=1-■≈0.3468.
显而易见,解法二比解法一好!
二、通过一题多解培养创新能力
一题多解可以培养学生从不同角度考虑问题、分析问题,这对培养学生的创新能力是很有帮助的。
例2 某人有5把钥匙,其中仅有2把能打开房门,但忘记了开房门的是哪二把,逐把试开,求三次内打开房门的概率。
解法一:设事件A表示:“逐把试开,三次内打开房门”,事件Ai表示:“逐把试开,第i次才打开房门”,i=2,3.事件Bi表示:“逐把试开,第i次打开房门”,i=1,2,3.则A=B1∪A2∪A3,于是根据加法公式与乘法公式可得:
P(A)=P(B1∪A2∪A3)=P(B1)+P(A2)+P(A3)=P(B1)+P(■1B2)+P(■1■2B3)
=P(B1)+P(■1)P(B2|■1)+P(■1■2)P(B3|■1■2)
=P(B1)+P(■1)P(B2|■1)+P(■1)P(■2|■1)P(B3|■1■2)
=■+■×■+■×■×■=■.
解法二:设事件A表示:“逐把试开,三次内打开房门。本题可转化为摸球模型:一个袋里装有5个球,其中有2个白球,从袋里随机任取3个球,求取到白球的概率。设事件Ai表示取到i个白球,i=0,1,2.则A=A1∪A2,
P(A)=P(A1∪A2)=P(A1)+P(A2)■=■=■
解法三:与解法二一样做题设与转化,再用其逆来解。
P(A)=1-P(■)=1-P(A■)=1-■=1-■=■
三、通过题目演变训练培养创新能力
学生创新能力的培养是以良好的思维品质为基础的。概率教学中可以通过题目的变化来培养学生思维的发散性、严谨性、求异性等,为培养学生的创新能力奠定良好的基础。
四、通过构造性的解题技巧培养学生的创新能力
构造性的解题技巧在习题教学中有很重要的作用,经常在解题中出现“柳暗花明”、“峰回路转”的效果。它对学生的学习基础要求较高,对培养学生的创新能力也最有效。
例3考虑一副52张扑克牌的如下玩法:将洗好的一副牌都扣注,一次翻开一张.玩家只有一次机会可以猜接下来翻开的一张是否是黑桃“A”,如果是,那么玩家获胜;如果不是,那么玩家输。另外,如果一直到剩下一张还没有翻开,而此前没有出现过黑桃“A”,且玩家也没有猜过,那么玩家也获胜,较好的策略?较差的策略?
分析:表面上看,本题似乎比较复杂,无从下手。但仔细考虑,我们发现可以以第一次翻牌为考察对象构造完备事件组,从而可用全概率公式解。
解:其答案是:任何一种策略,获胜的概率都是■。为了说明这点,我们将用归纳的方法证明这个结论:对于n张牌,其中有一张牌为黑桃“A”,那么不管采取何种策略,获胜的概率都是■.这点显然对n=1是正确的.假设对n-1张牌,该结论也成立.现在考虑n张牌,对于任一给定策略,令p表示该策略第一次就猜牌的概率。如果第一次就猜牌,那么获胜的概率为■.另一方面,如果按策略第一次不猜牌,那么获胜的概率就是第一张牌不是黑桃“A”的概率■,乘以在第一张牌不是黑桃“A”的条件下,获胜的条件概率。而此条件概率就等于含一张黑桃“A”的n-1张牌的玩牌游戏中获胜的概率,利用归纳假设,该条件概率为■,因此,按策略第一次不猜牌的条件下,获胜的概率为■×■=■因此,令G表示“第一次就猜牌”这一事件,则构造得G和■为一完备事件组,我们可用全概率公式解得:
P(获胜)=P(G)P(获胜|G)+P(■)P(获胜|■)=■p+■(1-p)=■
参考文献:
[1]蒙惠芳,符方健.高职“全概率公式”课堂教学质量提高策略分析[J].职业教育研究,2012(8):97-98.
作者简介:
蒙惠芳(1968-),女,汉族,海南琼海市人,琼台师范高等专科学校数理系副教授,学士,主要从事概率与统计教学理论研究。
【关键词】概率统计 人才培养 创新能力
【资金项目】琼台师范高等专科学校教育教学改革研究项目(批准号:QTJY201301)
【中图分类号】G71 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089(2015)03-0137-01
高校承担着人才培养的重任。只有富于创新意识和创造能力的人才,才能适应知识经济时代的发展,应付未来社会的挑战。笔者从事师专《概率统计》教学十多年,对通过习题教学来培养学生的创新能力深有体会,下面就谈谈本人的一些做法。
一、通过锻炼逆向思维培养创新能力
众所周知,一般人都是以正向思维主导解决问题的思路,但这往往对解决问题带来曲折,但如果从逆向思路考虑,往往找到捷径。运用逆向思维解决问题,这是创新能力的体现。
例1 设在100只显像管中有8只次品,现从中任取5只显像管,求其中有次品的概率。
解:设A表示事件“取出的5只显像管中有次品”,Ai表示事件“取出的5只显像管中恰有i件次品”,i=0,1,2,3,4,5,显然Ai∩Aj=?覫,(0≤i
P(Ai)=■,i=0,1,2,3,4,5
所以 P(A)=■P(A■)=■■
显然,利用这个式子计算比较困难。但如果用事件的逆处理,那就简单得多了!
解法二:因为■=A0,所以
P(A)=1-P(■)=1-P(A0)=1-■≈0.3468.
显而易见,解法二比解法一好!
二、通过一题多解培养创新能力
一题多解可以培养学生从不同角度考虑问题、分析问题,这对培养学生的创新能力是很有帮助的。
例2 某人有5把钥匙,其中仅有2把能打开房门,但忘记了开房门的是哪二把,逐把试开,求三次内打开房门的概率。
解法一:设事件A表示:“逐把试开,三次内打开房门”,事件Ai表示:“逐把试开,第i次才打开房门”,i=2,3.事件Bi表示:“逐把试开,第i次打开房门”,i=1,2,3.则A=B1∪A2∪A3,于是根据加法公式与乘法公式可得:
P(A)=P(B1∪A2∪A3)=P(B1)+P(A2)+P(A3)=P(B1)+P(■1B2)+P(■1■2B3)
=P(B1)+P(■1)P(B2|■1)+P(■1■2)P(B3|■1■2)
=P(B1)+P(■1)P(B2|■1)+P(■1)P(■2|■1)P(B3|■1■2)
=■+■×■+■×■×■=■.
解法二:设事件A表示:“逐把试开,三次内打开房门。本题可转化为摸球模型:一个袋里装有5个球,其中有2个白球,从袋里随机任取3个球,求取到白球的概率。设事件Ai表示取到i个白球,i=0,1,2.则A=A1∪A2,
P(A)=P(A1∪A2)=P(A1)+P(A2)■=■=■
解法三:与解法二一样做题设与转化,再用其逆来解。
P(A)=1-P(■)=1-P(A■)=1-■=1-■=■
三、通过题目演变训练培养创新能力
学生创新能力的培养是以良好的思维品质为基础的。概率教学中可以通过题目的变化来培养学生思维的发散性、严谨性、求异性等,为培养学生的创新能力奠定良好的基础。
四、通过构造性的解题技巧培养学生的创新能力
构造性的解题技巧在习题教学中有很重要的作用,经常在解题中出现“柳暗花明”、“峰回路转”的效果。它对学生的学习基础要求较高,对培养学生的创新能力也最有效。
例3考虑一副52张扑克牌的如下玩法:将洗好的一副牌都扣注,一次翻开一张.玩家只有一次机会可以猜接下来翻开的一张是否是黑桃“A”,如果是,那么玩家获胜;如果不是,那么玩家输。另外,如果一直到剩下一张还没有翻开,而此前没有出现过黑桃“A”,且玩家也没有猜过,那么玩家也获胜,较好的策略?较差的策略?
分析:表面上看,本题似乎比较复杂,无从下手。但仔细考虑,我们发现可以以第一次翻牌为考察对象构造完备事件组,从而可用全概率公式解。
解:其答案是:任何一种策略,获胜的概率都是■。为了说明这点,我们将用归纳的方法证明这个结论:对于n张牌,其中有一张牌为黑桃“A”,那么不管采取何种策略,获胜的概率都是■.这点显然对n=1是正确的.假设对n-1张牌,该结论也成立.现在考虑n张牌,对于任一给定策略,令p表示该策略第一次就猜牌的概率。如果第一次就猜牌,那么获胜的概率为■.另一方面,如果按策略第一次不猜牌,那么获胜的概率就是第一张牌不是黑桃“A”的概率■,乘以在第一张牌不是黑桃“A”的条件下,获胜的条件概率。而此条件概率就等于含一张黑桃“A”的n-1张牌的玩牌游戏中获胜的概率,利用归纳假设,该条件概率为■,因此,按策略第一次不猜牌的条件下,获胜的概率为■×■=■因此,令G表示“第一次就猜牌”这一事件,则构造得G和■为一完备事件组,我们可用全概率公式解得:
P(获胜)=P(G)P(获胜|G)+P(■)P(获胜|■)=■p+■(1-p)=■
参考文献:
[1]蒙惠芳,符方健.高职“全概率公式”课堂教学质量提高策略分析[J].职业教育研究,2012(8):97-98.
作者简介:
蒙惠芳(1968-),女,汉族,海南琼海市人,琼台师范高等专科学校数理系副教授,学士,主要从事概率与统计教学理论研究。