我们知道，运用一元二次方程的判别式“△”的知识可以解决以下问题：（1）判断一元二次方程根的情况；（2）确定字母系数的值或取值范围；（3）证明与方程相关的问题。事实上，判别式的应用远不止这些，它在其它知识领域的应用有时更为精彩。
　　一、用来解特殊的二次方程
　　例1：X为何有理数时，9X2+23X-2恰好为两个正偶数的乘积。
　　解：设9X2+23X-2=m（m+2）（m为正偶数）
　　则9X2+23X-m2-2m-2=0。
　　如果X为有理数，那么
　　△=232-4×9（-m2-2m-2）
　　=36m2+72m+601
　　=36m2+72m+36+565
　　=36(m+1)2+565
　　即△为完全平方数
　　又设36（m+1）2+565=n2(n为整数)，得
　　(n+6m+6))(n-6m-6)=565
　　=113×5=565×1=-5×（-113）=-1×（-565）
　　∴n+6m+6=113；565；-5；-1
　　n-6m-6=5；1；-113；-565
　　分别解之并筛选得:
　　 或
　　当m=8时，9X2+23X-82=0，得X=或X=2；
　　当m=46时，9X2+23X-2210=0，得X=或X=-17
　　二、用来分解因式
　　例2：是否存在能使6x2-xy-2y2+my-6分解成两个一次因式的乘積的m的值，如果存在，求出m的值，并将原式分解成两个一次因式的积，如果不存在，请说明理由。
　　解：假设m存在这样的值，则关于x的方程6x2-xy-2y2+my-6=0的判别式为：
　　△x=y2-24(-2y2+my-6)
　　=49y2-24my+144
　　∵△是完全平方式
　　∴方程49 y2-24my+144=0有两个相等的实数根
　　即△y=(-24m)2-4×49×144=0
　　∴m=±7
　　当m=-7时，原式=6x2-xy-2y2-7y-6
　　=(3x-2y-3)(2x+y+2)
　　当m=7时，不合题意
　　三、用来求最值
　　例3：求函数y=的最值。
　　解：原式可化为2yx2+(3y-1)x+(6y-2)=0
　　当y≠0时，该式为关于x的一元二次方程，且有适合条件的x的存在，所以判别式是△=（3y-1）2-4×2y(6y-2)=-(39y2-10y-1)
　　=-(3y-1)(13y+1)≥0
　　即(3y-1)(13y+1)≤0
　　∴-
　　当y=0时，x=―2
　　∴y最小=―，y最大=
　　四、用来判定三角形的形状
　　例4：已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a2+b2+c2=ab+bc+ac，试判定△ABC的形状。
　　解：由原式可得a2-（b+c）a+b2-bc+c2= 0
　　∵a存在
　　∴△a=(b+c)2-4(b2-bc+c2)=-(b-c)2≥0，即(b-c)2≤0
　　∴b=c
　　把b=c代入原式得a=c
　　∴a=b=c，即△ABC是等边三角形
　　
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