论文部分内容阅读
【摘要】运算始终是数学课程最基本的内容，也是最基本的能力。很多高中生计算能力较差，不少学生对一些简单的运算都过不了关，造成成绩不理想。而高考很重视考查学生的计算能力，学生计算能力的好坏直接影响到数学成绩，很多学生由于运算出错而失分。出错的原因除了粗心大意外，还有可能是记错、记混运算公式，或审题时对常见的运算易错点不注意等。本文对学生在高中数学运算的几个易错点进行举例研究并提出一些对策，希望可以帮助学生减少运算方面内容的扣分。
【关键词】高中数学运算 公式 易錯点 对策
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2021）07-0134-02
课程标准对高中数学运算能力提出了较高的要求，不仅要求学生会根据法则、公式，进行正确运算和变形，而且要能根据问题的条件，寻求与设计合理、简捷的运算途径。高中数学的运算形式多样，对初中的数学知识进行推广和引申，学生还要学习很多新的运算符号和一些新的运算，例如对数运算。这样对学生的运算能力提出了更高的要求，运算的难度也比初中要高。如在初中对基本初等函数的函数值的考查较低，对含有参变量一元二次方程都不作要求，但这部分含参的内容在高中经常出现。还有一元二次方程因式分解的内容，初中有些学校对它讲解和训练得较少，而在高中数学中分解因式的技巧、十字相乘都有很高的要求。高中运算的数的大小和范围都比初中要广，数由实数扩充到了复数，运算的步骤总体也比初中多。很多学生考试时往往会在运算的某方面出错失分，因此，有必要对这些易错点及应对策略进行研究。下面结合本人的教学实践，谈谈在这方面的相关认识和做法。
易错点一：没有注意到运算过程中一些常见的运算细节
例1：Sn=n2-1求数列{an}的通项公式。
解：当n=1时，a1=S1=0
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=（n2-1）-[（n-1）2-1]=n2-1-n2-2n
分析：其中可以看出学生去括号时只是变了一个符号而导致错误，最后不是减2n应该是加2n。其实本题可以先化出Sn-1 后用Sn减去Sn-1，运算过程中Sn-1的每一项符号都变为原来的相反数，这样可以尽量避免失误。
例2：asinx=0.5a，求sinx及x。
解：sinx=0.5且x=30°
分析：本题解的过程中没有注意到a为参数不能直接除，得讨论a为0和a不为0的情况，而且角度应该为30°+360°k或150°+360°k（k为整数）。另外，求ax2-（a+1）x+1>0的解时得讨论a是否为0来判断是不是为一元二次不等式。还有例如求有关对数函数的题目时，如果真数是变量则一般要注意真数大于0。而在三角形中若sinA=，则A=60°，实际上，由sinA=，可得A=60°或A=120°等。
对策：其实高中数学运算的过程中有很多注意点，所以，老师可以让学生有意识地记录这些注意点，然后利用课余时间去复习以便加深印象。另外，也可告诉学生如果平时自己做题有遇到运算出错时，一定要好好研究一下出错的具体原因，而不是简单地归结为是粗心大意就不再去深入总结。针对具体的问题研究用什么方法能更好地避免运算失误或者可以和同学老师探讨一下应对方法。老师还要引导学生重视高中常用的四种数学思想，这些数学思想渗透在运算的过程中。例如如果学生对分类讨论的思想掌握较好时则可避免很多运算错误，如遇到集合关系中含于符号时要注意讨论集合为空集和不为空集两种情况，对数的底数是a时要讨论a>1还是0<a<1两种情况等分类讨论。
易错点二：运算过程不仔细、潦草
分析：本题最后的运算没有把i2等于-1写出来导致最后出错，本题是高考的高频考点，难度不大，但往往很多学生运算不完整导致最后失分，所以要求学生把一些易错题最好每一步都细化算出来。
分析：本题解分式不等式，它的解题细化过程为移项通分后系数都化为正数最后才求解。学生对整个解题流程不熟悉，所以这个题就错在少了一步，没有把系数化为正而导致了错误。理解一元二次不等式时有一规则为“大于号取两边，小于号取中间”，其前提也是得先把系数化为正，即开口向上才成立。
对策：在教学中，教师要培养学生的运算意识，要让学生知道运算是数学学习的重要方面。部分同学重视解题时思维推导过程，但对运算的过程却不是很重视，这样就会造成运算的准确性下降。例如有些学生在考试中经常在运算方面出问题，如果不总结还会出现重复的错误。因此，教师在教学中要结合教学的内容，讲究训练形式多样化，把学生动手运算的积极性调动起来，转变学生懒于计算或厌于计算的坏习惯。另外，在课堂上教师也要让学生在草稿纸上的书写不能太随意，要工整规范，不同题目之间的解题区域区分要明显，否则很容易看错、看混。有的学生考试时书写不规范，经常将1写成7、3写成8，或者把负号写得很小等，而数学运算看错一个符号或数字都会让整个运算出错。另外，对简单的计算题也要细心，一些运算题型的解题步骤要做到心中有数，才能在运算过程中不会遗漏掉某些过程，例如求解分式不等式的步骤一移二化三求，而本题还没化就先求解了。
易错点三：记错记混运算公式或性质
例5：求解log23×log25的值
解：log23×log25=log2（3+5）=3
分析：本题记错了公式，logaM+logaN=logaMN，有些同学错记成logaM+logaN=logaMlogaN。本公式是由幂的运算性质anam=an+m推导出来的，指数式中的指数就相当对数式中的对数，所以知道推导过程有助于对公式的正确记忆。
例6：cos75°=cos（30°+45°）=cos30°cos45°+sin30°sin45° 分析：本题错在记混了两角和余弦公式，最后的运算应该是减号而非加号，可能学生误记成了两角和正弦公式的符号，这就是相似的公式或性质容易记混。再例如有些同学常把双曲线a、b、c三者的关系记成椭圆的关系a2=b2+c2。
对策：很多同学运算不正确的原因常常是概念模糊，公式、法则遗忘，性质混淆或生搬硬套。因此，指导学生在理解的基础上进行记忆尤其重要，得加强公式、定理发生、发展和形成过程的教学。例如有些同学把余弦定理记成a2=b2+c2+2cbcosA，如果学生知道它是由向量的减法公式推导出来的，一般就不会把减号写成加号了。同时我们还要让学生知道很多知识和规律的产生都有一个过程，教师在教学中要先告诉学生知识的来源或发展，这样可以让学生加深对知识的印象。例如高中的向量运算，若学生能够了解向量运算与物理中的合力、做功等知识有联系，则对知识的掌握更深刻，以后做题时就能更好地应用这些运算。学生还可以通过经常看一些知识点小册子或笔记来加强对概念、公式、法则的记忆。而对一些掌握不好的运算知识点，可以通过多做一些题来加深对它们的认识和理解。另外，老师平时在教学中可以对公式或性质中一些容易出错的地方和特点加以强调。
易错点四：对运算公式或性质的使用条件不清楚而用错
分析：本题错在不知道等比数列求和公式只适合公比不为1的等比数列，所以在使用公式前要确保这个数列的公比不为1。而此题x可能为1，就不能用上面这个公式;也可能为0，那就不是等比数列了。
分析：本题错在没有考虑x为负数的情形，忽视基本不等式成立的前提“正数”。基本不等式的使用要符合一正二定三相等的条件才算最终使用正确。很多同学在对公式或性质使用时不注意它们的适用条件而出错。例如在奇函数求参数题时，很多同学直接利用f（0）=0，但这个性质的使用前提是函数的定义域必须含有0才成立。在导数的学习中也有一些学生用错运算公式，例如（bex）'=ex+bex，学生因对运算公式的使用条件不理解而错用了运算公式，b是常数而非变量x，故正确的结果应该为（bex）'=bex 。再比如有些同学在求两平行线的距离时直接用公式d=，忘了公式的使用前提是两直线方程中x和y的系数必须先保证是相同的。
对策：学生忽视公式、定理的前提条件，滥用公式、定理，都是造成学生计算失分的主要原因，所以老师指导学生在理解的基础上进行记忆显得尤其重要。如果教师对公式和性质定理的形成没有进行深入的推导，则学生对知识掌握不够深刻，常常忘了公式的使用条件和范围，甚至造成学生不理解题意而错用公式。我们在教学中也可以设计一些不符合运算公式使用条件和范围的题目，让学生自己通过做题去体验一下是否对知识点达到完全的理解，并让学生在思想上意识到有些运算公式或性质定理的使用是有范围和条件的。例如两直线平行则k1=k2前提是直线的斜率存在才行。同时还可以引导学生在做题时根据题目条件联想到使用某个公式，例如知道两正数求最值的问题，可以考虑用基本不等式法。因此，教师在课堂上不仅要教学生公式、定理本身，也要告诉学生公式、定理成立的条件及特殊情形等易错点。
易错点五：审题不仔细而导致运算出错
分析：本题错在没看清向量的方向就默认夹角为角B，由于公共点B在一个向量为起点一个为终点，所以两向量的夹角应该为角B的补角才对。做错题的同学可能对向量的夹角概念掌握得不好，所以对概念、定理、性质的理解是运算准确性的前提。
例10：△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a=2，c=3，∠B=30°，则b= 3 。
解：由余弦定理得：b2= a2+c2-2accosB=3
分析：本题错在没看清题意，主要是审题不仔细，它问的是边长而非b的平方。又如学生还会经常因没看清是等差数列还是等比数列，而用错性质或公式。还有题目有时求长轴或求焦距时，有些学生会求成长半轴或焦半距，几何体求表面积看成求侧面积，求圆或球的直径看成是求半径等。
对策：准确、敏锐、深入地审题是正确分析问题、把握本问题本质、探寻解题思路、提高数学运算准确性的关键，学生审题能力的高低会直接影响解题的结果。平时做作业或考试时，有些学生因粗心大意，不认真审题。经常出现以下的问题：12看成21、2看成5、3看成8等。由于有些学生没有认真看清题意，结果本来会做的题却没有得分或得不到满分。所以，在教学中教师要有意识地培养学生的审题能力，要求学生要审清题目中的数字和符号等细节。对题目里的一些重要信息，可以边审边用笔先把它画出来，特别是最终题目的目标是什么。数学题目中有很多都存在关键的字词，对它们进行深入研究能找到解題的突破口。所以，审题时除了注意各个部分之间的区别和联系外，还要针对关键数字，展开解题的思维起点，进而培养学生的审题能力。在平时的学习中也可以对一些运算时易审错的地方多加留意，总结经验。
总之，平时在学生易出错之处，让学生去尝试，去充分“暴露问题”，然后认真剖析其错误，不断引导，使学生留下深刻印象。同时要求学生多做一些课后习题，并在平时的学习和训练中，要在思想上重视这些运算的易错点。引导学生在经过长期运算训练后，对一些关键性的计算公式和自己容易犯错误的地方进行总结，并利用一些对策尽量减少在考试中的失分，在平时进行检验运算时总结一些需要注意的常见易错点，那么在考试时就可以展开更有效的验算。这样才能提高学生在考试时的运算能力，从而提高学生的数学成绩，进而提升他们学好数学的自信心。
参考文献：
[1]《数学课程标准解读》，北京师范大学出版社，2002
[2]顾建峰.高中生数学运算能力的问题与对策研究[D].重庆：重庆师范大学，2012
【关键词】高中数学运算 公式 易錯点 对策
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2021）07-0134-02
课程标准对高中数学运算能力提出了较高的要求，不仅要求学生会根据法则、公式，进行正确运算和变形，而且要能根据问题的条件，寻求与设计合理、简捷的运算途径。高中数学的运算形式多样，对初中的数学知识进行推广和引申，学生还要学习很多新的运算符号和一些新的运算，例如对数运算。这样对学生的运算能力提出了更高的要求，运算的难度也比初中要高。如在初中对基本初等函数的函数值的考查较低，对含有参变量一元二次方程都不作要求，但这部分含参的内容在高中经常出现。还有一元二次方程因式分解的内容，初中有些学校对它讲解和训练得较少，而在高中数学中分解因式的技巧、十字相乘都有很高的要求。高中运算的数的大小和范围都比初中要广，数由实数扩充到了复数，运算的步骤总体也比初中多。很多学生考试时往往会在运算的某方面出错失分，因此，有必要对这些易错点及应对策略进行研究。下面结合本人的教学实践，谈谈在这方面的相关认识和做法。
易错点一：没有注意到运算过程中一些常见的运算细节
例1：Sn=n2-1求数列{an}的通项公式。
解：当n=1时，a1=S1=0
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=（n2-1）-[（n-1）2-1]=n2-1-n2-2n
分析：其中可以看出学生去括号时只是变了一个符号而导致错误，最后不是减2n应该是加2n。其实本题可以先化出Sn-1 后用Sn减去Sn-1，运算过程中Sn-1的每一项符号都变为原来的相反数，这样可以尽量避免失误。
例2：asinx=0.5a，求sinx及x。
解：sinx=0.5且x=30°
分析：本题解的过程中没有注意到a为参数不能直接除，得讨论a为0和a不为0的情况，而且角度应该为30°+360°k或150°+360°k（k为整数）。另外，求ax2-（a+1）x+1>0的解时得讨论a是否为0来判断是不是为一元二次不等式。还有例如求有关对数函数的题目时，如果真数是变量则一般要注意真数大于0。而在三角形中若sinA=，则A=60°，实际上，由sinA=，可得A=60°或A=120°等。
对策：其实高中数学运算的过程中有很多注意点，所以，老师可以让学生有意识地记录这些注意点，然后利用课余时间去复习以便加深印象。另外，也可告诉学生如果平时自己做题有遇到运算出错时，一定要好好研究一下出错的具体原因，而不是简单地归结为是粗心大意就不再去深入总结。针对具体的问题研究用什么方法能更好地避免运算失误或者可以和同学老师探讨一下应对方法。老师还要引导学生重视高中常用的四种数学思想，这些数学思想渗透在运算的过程中。例如如果学生对分类讨论的思想掌握较好时则可避免很多运算错误，如遇到集合关系中含于符号时要注意讨论集合为空集和不为空集两种情况，对数的底数是a时要讨论a>1还是0<a<1两种情况等分类讨论。
易错点二：运算过程不仔细、潦草
分析：本题最后的运算没有把i2等于-1写出来导致最后出错，本题是高考的高频考点，难度不大，但往往很多学生运算不完整导致最后失分，所以要求学生把一些易错题最好每一步都细化算出来。
分析：本题解分式不等式，它的解题细化过程为移项通分后系数都化为正数最后才求解。学生对整个解题流程不熟悉，所以这个题就错在少了一步，没有把系数化为正而导致了错误。理解一元二次不等式时有一规则为“大于号取两边，小于号取中间”，其前提也是得先把系数化为正，即开口向上才成立。
对策：在教学中，教师要培养学生的运算意识，要让学生知道运算是数学学习的重要方面。部分同学重视解题时思维推导过程，但对运算的过程却不是很重视，这样就会造成运算的准确性下降。例如有些学生在考试中经常在运算方面出问题，如果不总结还会出现重复的错误。因此，教师在教学中要结合教学的内容，讲究训练形式多样化，把学生动手运算的积极性调动起来，转变学生懒于计算或厌于计算的坏习惯。另外，在课堂上教师也要让学生在草稿纸上的书写不能太随意，要工整规范，不同题目之间的解题区域区分要明显，否则很容易看错、看混。有的学生考试时书写不规范，经常将1写成7、3写成8，或者把负号写得很小等，而数学运算看错一个符号或数字都会让整个运算出错。另外，对简单的计算题也要细心，一些运算题型的解题步骤要做到心中有数，才能在运算过程中不会遗漏掉某些过程，例如求解分式不等式的步骤一移二化三求，而本题还没化就先求解了。
易错点三：记错记混运算公式或性质
例5：求解log23×log25的值
解：log23×log25=log2（3+5）=3
分析：本题记错了公式，logaM+logaN=logaMN，有些同学错记成logaM+logaN=logaMlogaN。本公式是由幂的运算性质anam=an+m推导出来的，指数式中的指数就相当对数式中的对数，所以知道推导过程有助于对公式的正确记忆。
例6：cos75°=cos（30°+45°）=cos30°cos45°+sin30°sin45° 分析：本题错在记混了两角和余弦公式，最后的运算应该是减号而非加号，可能学生误记成了两角和正弦公式的符号，这就是相似的公式或性质容易记混。再例如有些同学常把双曲线a、b、c三者的关系记成椭圆的关系a2=b2+c2。
对策：很多同学运算不正确的原因常常是概念模糊，公式、法则遗忘，性质混淆或生搬硬套。因此，指导学生在理解的基础上进行记忆尤其重要，得加强公式、定理发生、发展和形成过程的教学。例如有些同学把余弦定理记成a2=b2+c2+2cbcosA，如果学生知道它是由向量的减法公式推导出来的，一般就不会把减号写成加号了。同时我们还要让学生知道很多知识和规律的产生都有一个过程，教师在教学中要先告诉学生知识的来源或发展，这样可以让学生加深对知识的印象。例如高中的向量运算，若学生能够了解向量运算与物理中的合力、做功等知识有联系，则对知识的掌握更深刻，以后做题时就能更好地应用这些运算。学生还可以通过经常看一些知识点小册子或笔记来加强对概念、公式、法则的记忆。而对一些掌握不好的运算知识点，可以通过多做一些题来加深对它们的认识和理解。另外，老师平时在教学中可以对公式或性质中一些容易出错的地方和特点加以强调。
易错点四：对运算公式或性质的使用条件不清楚而用错
分析：本题错在不知道等比数列求和公式只适合公比不为1的等比数列，所以在使用公式前要确保这个数列的公比不为1。而此题x可能为1，就不能用上面这个公式;也可能为0，那就不是等比数列了。
分析：本题错在没有考虑x为负数的情形，忽视基本不等式成立的前提“正数”。基本不等式的使用要符合一正二定三相等的条件才算最终使用正确。很多同学在对公式或性质使用时不注意它们的适用条件而出错。例如在奇函数求参数题时，很多同学直接利用f（0）=0，但这个性质的使用前提是函数的定义域必须含有0才成立。在导数的学习中也有一些学生用错运算公式，例如（bex）'=ex+bex，学生因对运算公式的使用条件不理解而错用了运算公式，b是常数而非变量x，故正确的结果应该为（bex）'=bex 。再比如有些同学在求两平行线的距离时直接用公式d=，忘了公式的使用前提是两直线方程中x和y的系数必须先保证是相同的。
对策：学生忽视公式、定理的前提条件，滥用公式、定理，都是造成学生计算失分的主要原因，所以老师指导学生在理解的基础上进行记忆显得尤其重要。如果教师对公式和性质定理的形成没有进行深入的推导，则学生对知识掌握不够深刻，常常忘了公式的使用条件和范围，甚至造成学生不理解题意而错用公式。我们在教学中也可以设计一些不符合运算公式使用条件和范围的题目，让学生自己通过做题去体验一下是否对知识点达到完全的理解，并让学生在思想上意识到有些运算公式或性质定理的使用是有范围和条件的。例如两直线平行则k1=k2前提是直线的斜率存在才行。同时还可以引导学生在做题时根据题目条件联想到使用某个公式，例如知道两正数求最值的问题，可以考虑用基本不等式法。因此，教师在课堂上不仅要教学生公式、定理本身，也要告诉学生公式、定理成立的条件及特殊情形等易错点。
易错点五：审题不仔细而导致运算出错
分析：本题错在没看清向量的方向就默认夹角为角B，由于公共点B在一个向量为起点一个为终点，所以两向量的夹角应该为角B的补角才对。做错题的同学可能对向量的夹角概念掌握得不好，所以对概念、定理、性质的理解是运算准确性的前提。
例10：△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a=2，c=3，∠B=30°，则b= 3 。
解：由余弦定理得：b2= a2+c2-2accosB=3
分析：本题错在没看清题意，主要是审题不仔细，它问的是边长而非b的平方。又如学生还会经常因没看清是等差数列还是等比数列，而用错性质或公式。还有题目有时求长轴或求焦距时，有些学生会求成长半轴或焦半距，几何体求表面积看成求侧面积，求圆或球的直径看成是求半径等。
对策：准确、敏锐、深入地审题是正确分析问题、把握本问题本质、探寻解题思路、提高数学运算准确性的关键，学生审题能力的高低会直接影响解题的结果。平时做作业或考试时，有些学生因粗心大意，不认真审题。经常出现以下的问题：12看成21、2看成5、3看成8等。由于有些学生没有认真看清题意，结果本来会做的题却没有得分或得不到满分。所以，在教学中教师要有意识地培养学生的审题能力，要求学生要审清题目中的数字和符号等细节。对题目里的一些重要信息，可以边审边用笔先把它画出来，特别是最终题目的目标是什么。数学题目中有很多都存在关键的字词，对它们进行深入研究能找到解題的突破口。所以，审题时除了注意各个部分之间的区别和联系外，还要针对关键数字，展开解题的思维起点，进而培养学生的审题能力。在平时的学习中也可以对一些运算时易审错的地方多加留意，总结经验。
总之，平时在学生易出错之处，让学生去尝试，去充分“暴露问题”，然后认真剖析其错误，不断引导，使学生留下深刻印象。同时要求学生多做一些课后习题，并在平时的学习和训练中，要在思想上重视这些运算的易错点。引导学生在经过长期运算训练后，对一些关键性的计算公式和自己容易犯错误的地方进行总结，并利用一些对策尽量减少在考试中的失分，在平时进行检验运算时总结一些需要注意的常见易错点，那么在考试时就可以展开更有效的验算。这样才能提高学生在考试时的运算能力，从而提高学生的数学成绩，进而提升他们学好数学的自信心。
参考文献：
[1]《数学课程标准解读》，北京师范大学出版社，2002
[2]顾建峰.高中生数学运算能力的问题与对策研究[D].重庆：重庆师范大学，2012