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复习课不如新授课有“新鲜感”，也不如练习课有“成就感”，一直受复习方法单一、题型缺乏创意、学生被动参与等问题的困扰。如何使复习课更高效？笔者认为，可以从渗透数学思想、提升核心素养入手，认真分析学情、把握知识体系、精心设计素材、巧妙组织整理，将知识点串线结网，从而帮助学生建立数学模型，解决实际问题。下面以人教版六上“圆的整理和复习”为例，谈谈如何构建高效的复习课。
一、条分缕析，“分类抽象”追溯知识本源
《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课程标准》）在“总目标”中要求学生能够运用数学的思维方式进行思考，即有顺序、有层次、全方位、逻辑性地思考。本课从“圆”的产生背景出发，唤醒学生认知，按照“圆的认识”和“圆的计算”将教学分成两大类，再细分小类，并在随后的梳理中构建知识网络。
1. 请大家欣赏一组图形：正方形→正六边形→正八边形→正十六边形……这样一直变下去，当所有的边都变成点再连起来时，会变成什么图形？（课件演示）由方及圆，体现的是数学中的极限思想。借助现代信息技术，再现刘徽的“割圆术”，即“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣。”随着边数的不断增加，正多边形转化为无限的圆内接正多边形，即“化方为圆”，用无限逼近的方式研究数量的变化趋势。
2. 你想到关于圆的哪些知识？学生课前整理圆的相关知识，做成思维导图，课上展示学生作品：分类式、表格式、树状式、图画式等。课堂上教师主要帮助学生重温重点、突破难点，按照一定的标准把知识点归类整理，形成知识网络图（图1），并引导学生在梳理的基础上运用知识、提升能力。让学生在“存异—求同—优化”的梳理过程中，实现知识网络的建构和升华，促进思维方式实现“无序—有序—科学”的发展。
二、抽丝剥茧，“对比辨析”突破知识难点
分类梳理后，以点带面，针对易错点，教师适时提出疑问，引导突破难点。这个环节往往是复习课的亮点，给相对沉闷的复习课注入活力，提升趣味性。教师不是简单地再现知识点，而是要设计问题让学生审视旧知、对比辨析，在解决问题中加深自身对知识的理解。
1. 判断：大圓的圆周率比小圆的圆周率大。圆周率是圆的知识核心，表示圆的周长与直径之间的比值，它是一个常数。受之前学习经验的影响，有的学生会认为圆周率的大小与圆的大小有关。借助动态演示法，让两个大小不同的圆滚动后，留下类似数轴的图像进行对比，标示圆周率的位置，让学生辨析。教师还可结合动画演示（半径相同，圆周率分别取值3.14、π，绘制不封闭与封闭的圆）追问：“π与3.14，谁大？”意在强调平时用3.14来计算圆的周长和面积，只是为了方便，3.14是π的一个近似数。
2. 判断：半径相等的半圆是圆面积的一半，那么半圆的周长是圆周长的一半。计算半圆的周长是学生的易错点。学生容易受“半圆的面积计算”的负迁移，将半圆的周长等同于圆周长的一半，少算一条直径的长度。通过现场计算半径为5厘米的半圆的周长，与图形演示相结合，实现学生认知的突破。引导学生辨析周长和面积是两个维度的概念，借助几何直观，明确两者之间的区别。
三、拓展延伸，“模型构建”完善知识体系
《课程标准》指出，模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。上好复习课，能够强化学生对模型思想的体验，实现其知识水平与技能的提高，实现个人数学素养的全面提升。
1. 半径、直径、周长、面积之间的关系：根据给出的信息，完成表格（表略）。基础训练，类比迁移，知一求三，寻找联系。沟通半径、直径、周长、面积四者之间的关系，构建关于圆的知识的数学模型。从常规地给出半径或直径及周长，求另外三个数量入手，引导学生思考，能否根据给出的圆的面积计算出它的半径、直径及周长。学生通过分析比较后，发现在特定的数据（面积除以π的商是一个平方数）下可以完成。这样由浅入深，逐步构建四者之间的模型，深化认识。
2. 方圆关系：出示一个圆形镜片（图略）。教师提示：“既没有给半径和直径，也没有给周长和面积，只告诉我们‘这个镜片是在一块边长为6 cm的正方形玻璃上切割出的一个最大的圆’。你能帮老师算出装饰镜片边框所需铜条的长度吗？能计算镜片背面的保护套的面积吗？”
解答的关键，在于理解本题是求镜片的周长和面积，并找出相应的半径或直径。通过课件的动态演示，让学生明白正方形的边长就是圆的直径，进而运用“知一求三”的方法，得以解决现实问题。然后，沟通“方”“圆”之间的联系，通过放大和缩小图形，引发学生的猜想：正方形的面积与内切圆的面积之间存在什么关系？它们的周长呢？通过实际计算S正∶S圆=6×6∶（6÷2）2 π=36∶9π=4∶π；C正∶C圆=6×4∶6π=4∶π，学生可以发现正方形与内切圆的面积比和周长比都是4∶π，建立关系模型。教师还可以将该结论应用到其他问题，实现知识的拓展运用。
3. 先计算环形面积，再移动环形中的小圆，分别计算阴影部分面积。如何计算环形面积（图2）是本课另一个难点，当题目仅给出大圆半径和小圆半径时，学生直接借助模型——环形面积公式S=π（R2-r2）进行计算并不难，但他们并未真正建构相关模型。求环形面积，其中的数量关系本质是求大小不同的两圆的面积之差。不少学生在大脑中产生了环形一定是同心圆的思维定势。本题可以通过课件的动态演示，不断移动小圆得到形状不同的阴影部分，让学生直观理解阴影部分面积都是大小圆的面积之差，只是相对位置改变，图形面积大小不变，渗透“变与不变”的数学思想，完善数学模型的建构。
通过这样的复习课，学生带着知识进入课堂，在数学思维的引领下，完成知识的整合、运用和提升，再带着收获与思考离开课堂。整节课，学生的学习热情高涨，有话可说、有理可辨，学习既有趣又高效！
（作者单位：福建省泉州市鲤城区实验小学 本专辑责任编辑：王彬 陈本煌）
一、条分缕析，“分类抽象”追溯知识本源
《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课程标准》）在“总目标”中要求学生能够运用数学的思维方式进行思考，即有顺序、有层次、全方位、逻辑性地思考。本课从“圆”的产生背景出发，唤醒学生认知，按照“圆的认识”和“圆的计算”将教学分成两大类，再细分小类，并在随后的梳理中构建知识网络。
1. 请大家欣赏一组图形：正方形→正六边形→正八边形→正十六边形……这样一直变下去，当所有的边都变成点再连起来时，会变成什么图形？（课件演示）由方及圆，体现的是数学中的极限思想。借助现代信息技术，再现刘徽的“割圆术”，即“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣。”随着边数的不断增加，正多边形转化为无限的圆内接正多边形，即“化方为圆”，用无限逼近的方式研究数量的变化趋势。
2. 你想到关于圆的哪些知识？学生课前整理圆的相关知识，做成思维导图，课上展示学生作品：分类式、表格式、树状式、图画式等。课堂上教师主要帮助学生重温重点、突破难点，按照一定的标准把知识点归类整理，形成知识网络图（图1），并引导学生在梳理的基础上运用知识、提升能力。让学生在“存异—求同—优化”的梳理过程中，实现知识网络的建构和升华，促进思维方式实现“无序—有序—科学”的发展。
二、抽丝剥茧，“对比辨析”突破知识难点
分类梳理后，以点带面，针对易错点，教师适时提出疑问，引导突破难点。这个环节往往是复习课的亮点，给相对沉闷的复习课注入活力，提升趣味性。教师不是简单地再现知识点，而是要设计问题让学生审视旧知、对比辨析，在解决问题中加深自身对知识的理解。
1. 判断：大圓的圆周率比小圆的圆周率大。圆周率是圆的知识核心，表示圆的周长与直径之间的比值，它是一个常数。受之前学习经验的影响，有的学生会认为圆周率的大小与圆的大小有关。借助动态演示法，让两个大小不同的圆滚动后，留下类似数轴的图像进行对比，标示圆周率的位置，让学生辨析。教师还可结合动画演示（半径相同，圆周率分别取值3.14、π，绘制不封闭与封闭的圆）追问：“π与3.14，谁大？”意在强调平时用3.14来计算圆的周长和面积，只是为了方便，3.14是π的一个近似数。
2. 判断：半径相等的半圆是圆面积的一半，那么半圆的周长是圆周长的一半。计算半圆的周长是学生的易错点。学生容易受“半圆的面积计算”的负迁移，将半圆的周长等同于圆周长的一半，少算一条直径的长度。通过现场计算半径为5厘米的半圆的周长，与图形演示相结合，实现学生认知的突破。引导学生辨析周长和面积是两个维度的概念，借助几何直观，明确两者之间的区别。
三、拓展延伸，“模型构建”完善知识体系
《课程标准》指出，模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。上好复习课，能够强化学生对模型思想的体验，实现其知识水平与技能的提高，实现个人数学素养的全面提升。
1. 半径、直径、周长、面积之间的关系：根据给出的信息，完成表格（表略）。基础训练，类比迁移，知一求三，寻找联系。沟通半径、直径、周长、面积四者之间的关系，构建关于圆的知识的数学模型。从常规地给出半径或直径及周长，求另外三个数量入手，引导学生思考，能否根据给出的圆的面积计算出它的半径、直径及周长。学生通过分析比较后，发现在特定的数据（面积除以π的商是一个平方数）下可以完成。这样由浅入深，逐步构建四者之间的模型，深化认识。
2. 方圆关系：出示一个圆形镜片（图略）。教师提示：“既没有给半径和直径，也没有给周长和面积，只告诉我们‘这个镜片是在一块边长为6 cm的正方形玻璃上切割出的一个最大的圆’。你能帮老师算出装饰镜片边框所需铜条的长度吗？能计算镜片背面的保护套的面积吗？”
解答的关键，在于理解本题是求镜片的周长和面积，并找出相应的半径或直径。通过课件的动态演示，让学生明白正方形的边长就是圆的直径，进而运用“知一求三”的方法，得以解决现实问题。然后，沟通“方”“圆”之间的联系，通过放大和缩小图形，引发学生的猜想：正方形的面积与内切圆的面积之间存在什么关系？它们的周长呢？通过实际计算S正∶S圆=6×6∶（6÷2）2 π=36∶9π=4∶π；C正∶C圆=6×4∶6π=4∶π，学生可以发现正方形与内切圆的面积比和周长比都是4∶π，建立关系模型。教师还可以将该结论应用到其他问题，实现知识的拓展运用。
3. 先计算环形面积，再移动环形中的小圆，分别计算阴影部分面积。如何计算环形面积（图2）是本课另一个难点，当题目仅给出大圆半径和小圆半径时，学生直接借助模型——环形面积公式S=π（R2-r2）进行计算并不难，但他们并未真正建构相关模型。求环形面积，其中的数量关系本质是求大小不同的两圆的面积之差。不少学生在大脑中产生了环形一定是同心圆的思维定势。本题可以通过课件的动态演示，不断移动小圆得到形状不同的阴影部分，让学生直观理解阴影部分面积都是大小圆的面积之差，只是相对位置改变，图形面积大小不变，渗透“变与不变”的数学思想，完善数学模型的建构。
通过这样的复习课，学生带着知识进入课堂，在数学思维的引领下，完成知识的整合、运用和提升，再带着收获与思考离开课堂。整节课，学生的学习热情高涨，有话可说、有理可辨，学习既有趣又高效！
（作者单位：福建省泉州市鲤城区实验小学 本专辑责任编辑：王彬 陈本煌）