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三角形是最简单的多边形，将复杂问题（或图形）“转化”为简单的问题（或图形）从而顺利解决问题是一种重要的数学思想方法，事实上，初中几何中包括中考试题中很多多边形问题最终都要以三角形为“落脚点”.因此，熟练掌握及能运用三角形相关知识解决问题显得尤为重要.下面，从一道课本例题出发，以“设计”“生长”“探究”变式追问的过程为线索，讨论三角形相关知识在解决系列问题中的重要作用.
【课本例题】如图1，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C移动.几秒钟后△DPQ的面积等于28cm2？
【分析】设xs后△DPQ的面积为28cm2，则AP、PB、BQ、QC的长度可分别用含x的代数式表示，从而Rt△DAP、Rt△PBQ、Rt△QCD的面积也都可用含x的代数式表示，于是可以列出方程.
【变式追问】老师把这个图形进行了改编，打算从简单的直角三角形入手，放手让同学们设计或提出一些问题，下面老师就把那节课生成的好问题在这里作一个分享，期望对同学们有所帮助.
一、设计
如图2，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B移动，同时，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C移动，时间为t.尝试设计或提出一些问题.
【解读】在这个情境中存在着许多量是随着点P、Q的运动而变化的，如线段AP、PB、BQ、CQ、PQ的长度；△PBQ的面积、周长；线段PQ位置变化等.
（1）当PQ=[42]时，求时间t的值.
（2）当△PBQ的面积为8cm2时，求时间t的值.
（3）记△PBQ的面积为S1，直接写出S1关于t的函数关系式，并求出S1的最大值或最小值.
（4）是否存在t的值，使得PQ∥AC？若存在，求出时间t的值；不存在，请说明理由.
【解析】由题意可知：AP=t，PB=6-t，BQ=2t，CQ=12-2t.
（1）在Rt△PBQ中，PQ2=PB2 BQ2，所以（[42]）2=（6-t）2 （2t）2，解得t1=[25]，t2=2.
（2）由面积公式，得[12]（6-t）2t=8，解得t1=2，t2=4，所以，存在t=2或4，使得△PBQ的面积为8cm2.
（3）S1=[12]（6-t）2t=-t2 6t=-（t-3）2 9，所以，S1的最大值为9.
（4）当PQ∥AC时，则有△BPQ～△BAC，于是有[BPBQ]=[BABC]成立，则[6-t2t]=[612]，得t=3.
二、生長
如图3，以AB、BC为边补成矩形ABCD，连接DQ、DP.
（5）当DQ⊥PQ时，求时间t的值.
（6）求时间t的值，使得△DPQ是直角三角形.
（7）当△PBQ与△DCQ相似时，求时间t的值.
（8）是否存在t的值，使得△DPQ与△PBQ、△DCQ三个三角形两两相似？若存在，求出时间t的值；不存在，请说明理由.
（9）连接AC，分别交DQ、DP于点M、N，若M、N是AC的三等分点，求时间t的值.
【解析】（5）当DQ⊥PQ时，则有△PBQ～
△QCD，于是有[BPBQ]=[QCCD]成立，[6-t2t]=[12-2t6]，t1=[32]，t2=6，当t=6时，△PBQ、△QCD不存在，但要考虑t=6时，点Q与点C重合，点P与点B重合，也有DQ⊥PQ成立.故t1=[32]，t2=6.
（6）△DPQ是直角三角形，显然有三种情形，要分类讨论：
①若∠DPQ=90°，t=0；②∠DQP=90°，t1=[32]，t2=6；③∠PDQ=90°，不存在t的值.综上所述：当t=0、[32]、6时，△DPQ是直角三角形.
（7）当△PBQ与△DCQ相似时，由于对应关系的不确定，也要分类，紧扣∠B=∠C=90°这一重要条件，直角的两边对应成比例建立关系式：[PBBQ]=[CQCD]或[PBBQ]=[CDCQ].[6-t2t]=[12-2t6]，t1=[32]，t2=6（舍去）；[6-t2t]=[612-2t]，t1=9-[35]，t2=9 [35]>6（舍去）.综上所述，当△PBQ与△DCQ相似时，t=[32]、9-[35].
（8）有了前面的经验积累，我们知道△PBQ、△DCQ相似时时间t的值，而且都是直角三角形，所以△DPQ必须为直角三角形，由（6）可知，t=0、[32]、6，当t=[32]时，PB=4.5，BQ=3，△PBQ～△QCD，相似比为PQ∶DQ=BQ∶CD=3∶6=1∶2，但在△PBQ中，PB∶BQ=4.5∶3=3∶2，所以PB∶BQ≠PQ∶DQ，故△DPQ不与△PBQ、△DCQ相似，所以时间t的值不存在.
（9）如图4，若M、N是AC的三等分点，则由△QCM～△DAM可知[CQAD]=[CMAM]，[12-2t12]=[12]，t=3；同理，由△PAN～△DCN可知[APCD]=[ANCN]，[t6]=[12]，t=3.反之，当t=3时，也有M、N是AC的三等分点成立.
图4
三、探究
如图5，在矩形ABCD中，以PQ为一边作正方形PQEF（按逆时针方向），借助几何画板，随着点P、Q的运动，又有了新的发现：
（10）正方形PQEF的面积为S2，直接写出S2关于t的函数关系式，并求正方形PQEF面积的最小值. （11）连接CE，①当△CEQ的面积为10时，求时间t的值；②求证：CE=EF.
（12）连接CE、DE，是否存在t的值，使得△DCE是等腰三角形？若存在，求出时间t的值；不存在，请说明理由.
（13）当AC平分正方形PQEF的面积时，求时间t的值.
【解析】（10）正方形PQEF的面积为S2=PQ2=（6-t）2 （2t）2=5t2-12t 36=5（t-[65]）2 [1445]，所以当t=[65]时，S2的最小值为[1445].
（11）①如图6，作EH⊥BC于点H，容易证明△PBQ≌△QHE，那么，EH=BQ=2t，于是△CEQ的面积可表示为[12]QC·EH=[12]（12-2t）2t=t（12
-2t），则有t（12-2t）=10，t1=1，t2=5.
②由①可知，△PBQ≌△QHE，那么QH=PB=6-t，CH=（12-2t）-（6-t）=6-t，则QH=CH，又因为EH⊥BC于点H，所以CE=EQ=EF.
（12）分类讨论：①若CE=CD，如图7，而CE=QE=PQ=[5t2-12t 36]，CD=6，于是便有[5t2-12t 36]=6，解得：t1=0，t2=[125]；②若EC=ED，作EJ⊥CD，垂足為点J，如图8，由等腰三角形三线合一性质可知：CJ=[62]=3，EH=2t，而CJ=EH，则3=2t，t=[32]；③若DE=DC，延长HE交AD于点G，如图9，有DE2=DG2 EG2=CD2，则（6-t）2 （6-2t）2=62，解得t1=[65]，t2=6，当t=6时，点C、D、E三点共线，不存在△DCE，所以t=6舍去，故t=[65].
（13）当AC平分正方形PQEF的面积时，则AC必定经过正方形对角线的交点，连接EP交AC于点O，则O点是EP的中点，设EH交AC于点M，容易证明：△APO≌△MEO，于是，EM=AP=t，而EH=2t，则MH=t，由MH∥AB，有[MHCH]=[ABBC]=[12]，[t6-t]=[12]，解得t=2.
【点评】经历上述问题的探究，希望同学们进一步体会方程与函数的关系、变中不变、等腰三角形的存在性问题解决策略，尤其关注问题之间的相互关联，看似“并列式”问题，实则要“递进式”分析思考求解.
（作者单位：苏州工业园区青剑湖学校）
【课本例题】如图1，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C移动.几秒钟后△DPQ的面积等于28cm2？
【分析】设xs后△DPQ的面积为28cm2，则AP、PB、BQ、QC的长度可分别用含x的代数式表示，从而Rt△DAP、Rt△PBQ、Rt△QCD的面积也都可用含x的代数式表示，于是可以列出方程.
【变式追问】老师把这个图形进行了改编，打算从简单的直角三角形入手，放手让同学们设计或提出一些问题，下面老师就把那节课生成的好问题在这里作一个分享，期望对同学们有所帮助.
一、设计
如图2，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B移动，同时，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C移动，时间为t.尝试设计或提出一些问题.
【解读】在这个情境中存在着许多量是随着点P、Q的运动而变化的，如线段AP、PB、BQ、CQ、PQ的长度；△PBQ的面积、周长；线段PQ位置变化等.
（1）当PQ=[42]时，求时间t的值.
（2）当△PBQ的面积为8cm2时，求时间t的值.
（3）记△PBQ的面积为S1，直接写出S1关于t的函数关系式，并求出S1的最大值或最小值.
（4）是否存在t的值，使得PQ∥AC？若存在，求出时间t的值；不存在，请说明理由.
【解析】由题意可知：AP=t，PB=6-t，BQ=2t，CQ=12-2t.
（1）在Rt△PBQ中，PQ2=PB2 BQ2，所以（[42]）2=（6-t）2 （2t）2，解得t1=[25]，t2=2.
（2）由面积公式，得[12]（6-t）2t=8，解得t1=2，t2=4，所以，存在t=2或4，使得△PBQ的面积为8cm2.
（3）S1=[12]（6-t）2t=-t2 6t=-（t-3）2 9，所以，S1的最大值为9.
（4）当PQ∥AC时，则有△BPQ～△BAC，于是有[BPBQ]=[BABC]成立，则[6-t2t]=[612]，得t=3.
二、生長
如图3，以AB、BC为边补成矩形ABCD，连接DQ、DP.
（5）当DQ⊥PQ时，求时间t的值.
（6）求时间t的值，使得△DPQ是直角三角形.
（7）当△PBQ与△DCQ相似时，求时间t的值.
（8）是否存在t的值，使得△DPQ与△PBQ、△DCQ三个三角形两两相似？若存在，求出时间t的值；不存在，请说明理由.
（9）连接AC，分别交DQ、DP于点M、N，若M、N是AC的三等分点，求时间t的值.
【解析】（5）当DQ⊥PQ时，则有△PBQ～
△QCD，于是有[BPBQ]=[QCCD]成立，[6-t2t]=[12-2t6]，t1=[32]，t2=6，当t=6时，△PBQ、△QCD不存在，但要考虑t=6时，点Q与点C重合，点P与点B重合，也有DQ⊥PQ成立.故t1=[32]，t2=6.
（6）△DPQ是直角三角形，显然有三种情形，要分类讨论：
①若∠DPQ=90°，t=0；②∠DQP=90°，t1=[32]，t2=6；③∠PDQ=90°，不存在t的值.综上所述：当t=0、[32]、6时，△DPQ是直角三角形.
（7）当△PBQ与△DCQ相似时，由于对应关系的不确定，也要分类，紧扣∠B=∠C=90°这一重要条件，直角的两边对应成比例建立关系式：[PBBQ]=[CQCD]或[PBBQ]=[CDCQ].[6-t2t]=[12-2t6]，t1=[32]，t2=6（舍去）；[6-t2t]=[612-2t]，t1=9-[35]，t2=9 [35]>6（舍去）.综上所述，当△PBQ与△DCQ相似时，t=[32]、9-[35].
（8）有了前面的经验积累，我们知道△PBQ、△DCQ相似时时间t的值，而且都是直角三角形，所以△DPQ必须为直角三角形，由（6）可知，t=0、[32]、6，当t=[32]时，PB=4.5，BQ=3，△PBQ～△QCD，相似比为PQ∶DQ=BQ∶CD=3∶6=1∶2，但在△PBQ中，PB∶BQ=4.5∶3=3∶2，所以PB∶BQ≠PQ∶DQ，故△DPQ不与△PBQ、△DCQ相似，所以时间t的值不存在.
（9）如图4，若M、N是AC的三等分点，则由△QCM～△DAM可知[CQAD]=[CMAM]，[12-2t12]=[12]，t=3；同理，由△PAN～△DCN可知[APCD]=[ANCN]，[t6]=[12]，t=3.反之，当t=3时，也有M、N是AC的三等分点成立.
图4
三、探究
如图5，在矩形ABCD中，以PQ为一边作正方形PQEF（按逆时针方向），借助几何画板，随着点P、Q的运动，又有了新的发现：
（10）正方形PQEF的面积为S2，直接写出S2关于t的函数关系式，并求正方形PQEF面积的最小值. （11）连接CE，①当△CEQ的面积为10时，求时间t的值；②求证：CE=EF.
（12）连接CE、DE，是否存在t的值，使得△DCE是等腰三角形？若存在，求出时间t的值；不存在，请说明理由.
（13）当AC平分正方形PQEF的面积时，求时间t的值.
【解析】（10）正方形PQEF的面积为S2=PQ2=（6-t）2 （2t）2=5t2-12t 36=5（t-[65]）2 [1445]，所以当t=[65]时，S2的最小值为[1445].
（11）①如图6，作EH⊥BC于点H，容易证明△PBQ≌△QHE，那么，EH=BQ=2t，于是△CEQ的面积可表示为[12]QC·EH=[12]（12-2t）2t=t（12
-2t），则有t（12-2t）=10，t1=1，t2=5.
②由①可知，△PBQ≌△QHE，那么QH=PB=6-t，CH=（12-2t）-（6-t）=6-t，则QH=CH，又因为EH⊥BC于点H，所以CE=EQ=EF.
（12）分类讨论：①若CE=CD，如图7，而CE=QE=PQ=[5t2-12t 36]，CD=6，于是便有[5t2-12t 36]=6，解得：t1=0，t2=[125]；②若EC=ED，作EJ⊥CD，垂足為点J，如图8，由等腰三角形三线合一性质可知：CJ=[62]=3，EH=2t，而CJ=EH，则3=2t，t=[32]；③若DE=DC，延长HE交AD于点G，如图9，有DE2=DG2 EG2=CD2，则（6-t）2 （6-2t）2=62，解得t1=[65]，t2=6，当t=6时，点C、D、E三点共线，不存在△DCE，所以t=6舍去，故t=[65].
（13）当AC平分正方形PQEF的面积时，则AC必定经过正方形对角线的交点，连接EP交AC于点O，则O点是EP的中点，设EH交AC于点M，容易证明：△APO≌△MEO，于是，EM=AP=t，而EH=2t，则MH=t，由MH∥AB，有[MHCH]=[ABBC]=[12]，[t6-t]=[12]，解得t=2.
【点评】经历上述问题的探究，希望同学们进一步体会方程与函数的关系、变中不变、等腰三角形的存在性问题解决策略，尤其关注问题之间的相互关联，看似“并列式”问题，实则要“递进式”分析思考求解.
（作者单位：苏州工业园区青剑湖学校）