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摘要：基于无痕教育理念下的无痕教学法，彰显着人性化和科学性光辉。无痕教学法与古今中外的相关教育理论、哲学智慧有着内在的渊源关系。无痕教学法有着有痕的典型特征和可操作的实践策略，也有着基本的实践变式，是一种追求教学的自然、朴素与和谐的教育方法。
关键词：无痕教学 典型特征 教学策略
一、方法溯源
“有”与“无”，是一种朴素的辩证法思想，一直是哲学范畴的基本命题。俗话说，从无到有，无中生有，有无相生，都表达了两者之间的相对性与内在统一。无痕，从字面上讲，就是没有痕迹，不留印记，一切如初。“痕”本意指创伤痊愈后留下的疤痕，也泛指斑迹。无痕，常被作为一种美学境界被众多文人墨客所描绘。贾岛《江亭晚望》有诗句：“鸟归沙有迹，帆过浪无痕。”苏轼《与潘郭二生出郊寻春》中写道：“人似秋鸿来有信，事如春梦了无痕。”杜甫的《春夜喜雨》更是描绘了一幅无痕美景：“随风潜入夜，润物细无声。”武侠小说里更有“踏雪无痕”“无招胜有招”的神奇境界。
无痕被用于教育，早已有之。苏霍姆林斯基曾说过：“任何一种教育现象，孩子在其中越少感觉到教育者的意图，它的教育效果就越大。”值得一提的是，徐光等所著的《无痕教育——一位中国妈妈的教育感悟》，苏爱美著的《最好的教育是无痕教育——一位妈妈17年无痕教育的实践》，皆以一个母亲的视角从家庭教育的角度阐述了“无痕教育”是一种至高的教育境界。有些学校也常常把“无痕教育”作为管理追求，如四川成都青羊区成飞中学2006年以来一直倡导“无缝隙管理”，河北唐山师范附小近年来倡导“无痕管理”，江苏南通如东中学李凤老师2009年提出过“无痕语文研究”等。
尽管“教育无痕”常常被人们作为一种高明的教育艺术和理想的教育境界，但检索文献仍不知从什么时候起谁第一个创立了“无痕教育”概念，且目前尚没有系统的理论研究，或许这正是其“无痕”之处。近年来，笔者积极倡导并深入研究“无痕教育”的相关理论与教学实践，先后出版有《追寻无痕教育》《无痕教育》《徐斌与无痕教育》三本专著。2017年，《数学无痕教育的实践研究》获江苏省基础教育教学成果一等奖。2010年，福建教育杂志社举办了第三届全国青年教师风采展示活动之“徐斌与无痕教育”特色教学研讨会。该研讨会在全国范围内产生了一定的影响。
无痕教育，指把教育意图与目的隐蔽起来，通过间接、暗示或迂回的方式，给学生以教育。无痕教育的提出，对丰富现当代教育教学理论，具有一定的理论意义和实践价值。
无痕教育不仅是一种教育方式，更是一种教育思想，是一种教育心理学的规律和原则，是一种教育的美学和哲学境界，是一种对教育本原的追寻。无痕教育法，就是在尊重和理解学生的基础上，遵从教育之序，营造自然愉悦的学习之境，倡导适切的学习之法，追寻最本真的教学境界。
二、相关理论
中外很多著名教育家在谈到教育艺术、教育境界以及德育工作时，常常提到“无痕教育”“教育无痕”等观点。虽然没有专门的教育家系统地提出“无痕教育”的完整理论，但以下思想中均折射出无痕教育的意蕴，为“无痕教学法”的研究提供了丰富的思想源泉。
（一）卢梭的自然主义教育理论
法國教育家卢梭是自然教育思想的代表人物，崇尚自然，主张“回归自然”，据此提出了自然教育理论，其核心是教育必须顺应儿童天性发展的自然历程。卢梭认为，顺应自然的教育必然也是自由的教育，因为人最重要的自然权利就是自由；要尊重儿童的自由，让儿童享有充分自由活动的可能和条件，并在教学过程中采取自然的、自由的教学方法以适应儿童的身心发育水平和个别差异；在儿童期，主要进行感觉教育，不要教给儿童正确的答案，而应该让儿童自己去获得，引导儿童独立解决问题；人的教育和事物的教育必须顺应自然的教育。按照儿童年龄发展的自然进程，他将教育年龄划分为四个阶段，并根据各个阶段儿童身心发展的特点，规定了教育的任务、内容和方法。他创造出了现代意义上的“童年”一词，强调儿童作为自然界中一种生物，应按照他们的自然天性来生活，而不应该违背他们的自然天性。
无痕教育的本质是一种顺应自然、尊崇规律的教育形态。无痕教育强调的就是优化师生关系，顺应儿童的学习习性，在一种自然状态下让儿童快乐地学习和发展。
（二）杜威的民主主义教育理论
美国现代著名的实用主义哲学家和教育家杜威的民主主义理论，既从主观唯心主义的经验论出发来论述教学内容与教学方法问题，又在许多方面表现出辩证法的思想；既强调儿童的“主动作业”，又谈到“分科教学”问题；强调照顾儿童的兴趣与能力，主张“儿童中心主义”；倡导“学校即社会”“教育即生活”，倡导儿童的发展和成长就是教育理想之所在，倡导所有教育活动必须根植于儿童的天性和情感，而不是将精心设计的外部材料强加给儿童。“一切教育都是通过个人参与人类的社会意识而进行的。这个过程几乎是在出生时就在无意识中开始了。”“由于这种不知不觉的教育，个人便渐渐分享人类曾经积累下来的智慧和道德的财富。”这些教育论断与无痕教育的实施策略是相吻合的。
（三）老子的智慧思想
《史记》在“老子韩非子列传”里讲到了《老子》一书的成书过程：“老子修道德，其学以自隐无名为务。居周久之，见周之衰，乃遂去。至关，关令尹喜日：‘子将隐矣，强为我著书。’于是老子乃著书上下篇，言道德之意五千余言而去，莫知其所终。”《道德经》指出：“无，名天地之始；有，名万物之母。”换言之，无是天地形成的本始；有是创生万物的根源。“故有无相生，难易相成，长短相较，高下相倾，音声相和，前后相随。是以圣人处无为之事，行不言之教。”由此可见，最好的教育是体合天道，顺应自然，崇尚无为。
老子哲学大大扩展了中国人思考的空间，改变了中国人思考问题的方法。老子智慧不仅在哲学史上有着世界性地位，对教育的影响也相当深远。尽管《老子》一书通篇未提“教育”二字，但我们可以从中受到无穷启发。无痕教育因此倡导：教师无为，才能无不为。 （四）苏霍姆林斯基的和谐教育观
苏霍姆林斯基指出：“对于孩子来讲，做好的教师是在精神交往中忘记自己是教师而把自己的学生视为朋友、志同道合的那种教师。”“我们把这条规律看成是教育技巧的核心，是能够找到通向孩子心灵之路的基础。”“教育者的教育意图越是隐蔽，就越是能为教育的对象所接受，就越能转化成教育对象自己的内心要求。”这与无痕教育所倡导的理念是一致的。
（五）洛扎诺夫创立的暗示教学理论
保加利亚心理治疗医生、医学博士洛扎诺夫创立的“暗示教学理论”，为无痕教育法的研究提供了直接的支撑性理论。暗示教学的基本定义是：“创造高度的学习动机，建立激发个人心理潜力的倾向，从学生是一个完整的个体出发，在学习交流过程中，力求把各种无意识因素组织起来，使学生的学习成为一种享受，从而大大提高教学效率。”⑥暗示教学遵循三个原则，即：愉快而不紧张，有意识与无意识统一，暗示相互作用。暗示教学是对传统教学的重大冲击，使人们的教育观念发生了根本变化。学习不再是痛苦的折磨，而是愉快的享受。暗示教学理論为无痕教育提供了心理学依据。
除了上面一些教育理论，陶行知的生活教育理论，叶圣陶的“教是为了不需要教”等观点，均为无痕教育法的实践研究提供了丰富的理性土壤。这些教育理论和教育思想，都或多或少涉及无痕教育的基本内涵和实施策略，对开展无痕教育法的研究都具有一定的指导和借鉴意义。
三、典型特征
根据认知学习理论，学习的过程是新的学习内容与学生原有的认知结构相互作用，形成新的认知结构的过程。实施无痕教育法，能让学生不露痕迹地利用原有的认知经验，通过主动建构来获得知识，并通过循序渐进的巩固和由易到难的练习逐步形成技能。因此，无痕教育具有四个方面的典型特征。
（一）实现学习内容与儿童生活经验的有效对接
叶圣陶先生曾借吕叔湘关于“教育更像农业而不像工业”的比喻，提出“受教育的人的确跟种子一样”的著名论断。我想这句话包含两层意思：一是教育就像农业一样需要一个缓慢的生长过程，需要很长的一个周期，而不能像工业产品那样迅速出炉。二是学生的成长不是一个工业产品的加工过程，不能批量生产、整齐划一，而必须像对待农作物一样，让不同的“作物”有不同的生命周期和种植方法。因此，“教育像农业”就是需要教师在教学工作中，春风化雨，顺其自然，不急不躁，从容不迫。
杜威也曾经说过“教育即生长”。“生长”本是生命的特征，生命体的生长是看不出痕迹的，课堂是生命体之间的碰撞与交流，因此“教育即生长”意味着教育本无痕。
在义务教育阶段的数学课程中，许多学习内容都可以在儿童的实际生活中找到背景。因此，数学课堂学习内容的选择应该从学生的生活经验出发，贴近学生的生活现实，并适当借助已有旧知、经验（包括学生的知识经验、问题解决经验、数学活动经验等等），寻找儿童生活现实与数学现实之间的“生长点”，让新知在儿童的心田自然生长出来，使儿童在不知不觉中开始学习之旅，使学习像呼吸一样自然发生。
（二）实现学习方式与儿童认知规律的自然适应
儿童是怎样进行数学学习和思维的？苏联教育家乌申斯基说：“一般说来，儿童是依靠形状、颜色、声音和感觉来进行思维的。”儿童不是成人，也不是小大人，儿童就是儿童，具有独特的年龄特征和认知规律，而数学学科的高度抽象性和严密逻辑性常常使一些儿童过早地失去了对数学的兴趣。因此，无痕教育法倡导教师站在学生学的角度思考“教什么”和“如何教”，寻找适应学生、适合学生的教学方式，多采用直观具体与生动形象的方式，激发学生内在的学习兴趣与学习动机，让学生的各种感官都参与学习，帮助学生在亲历体验中参与知识的形成过程，感悟知识的来龙去脉，在潜移默化中理解数学知识的本质。
（三）实现学习过程与儿童互动交流的高度融合
叶澜教授在《教师——精神上的长途跋涉者》一文中说：“课堂应是向未知方向挺进的旅程，随时都有可能发现意外的通道和美丽的图景，而不是一切都必须遵循固定线路而没有激情的行程。”课堂是教师、学生、环境、教材等各种生态因子互动交往的场所，每一节课都是不可重复的激情与智慧综合生成的过程。在这个过程中，教师随时都有可能遇到各种始料未及的新问题，而这些问题就会催生生命体智慧的碰撞与交流。因此，课堂的最大魅力就在于无法真正预设，无法完全复制和倒回重来，因此充满了生命力，充满了无限可能，具有神秘的美感。学生学习数学的过程应该首先建立在自己实践与思考的基础之上。学生对学习材料有自己独到的感知，教师要根据每个学生的学习基础进行适当的引领和点拨，充分发挥学生之间交往互动与合作交流的作用，注重师生之间、生生之间的对话和交流，让每个学生都能体验成功的喜悦，增强学习自信心，锻炼克服困难的意志，养成良好的学习习惯和意志品质，不断提高自身的数学学科素养。
（四）实现学习历程与儿童素养提升的同步发展
2016年9月13日，随着《中国学生发展核心素养》总体框架的出台，培育和提高学生的学科素养成为一线教师的共识。学生发展核心素养，主要指学生应具备的、能够适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力。从这个意义上说，数学素养应该是数学学科所固有的内蕴特性，是在人的先天基础上，通过后天学习，将所习得的一些必备的数学知识技能、数学思想方法、数学能力、数学观念和数学品质融于身心的一种稳定的心理状态。
学生通过数学课堂不仅获得知识技能，而且要发展思维、感悟思想，更为重要的是，形成终身受用的核心素养。因此，无痕教育理念观照下的数学课堂，教师注重学生的学习历程，善于改造日常的数学课堂，改变传统教学中“以讲为主”、小组合作流于形式等局面，开放教学过程，让学生真正进入“深度学习”的境界。教师善于把学生带进数学乐园，给他们提供足够的探究活动的时间和空间，让他们观察、发现、交流、分享，让他们的学习历程充满了求知的快乐，充满了积极的情感，充满了美好的回忆，让他们的数学思维得以发展和提升，进而为其一生的可持续和全面发展打下坚实的基础。 当然，无痕教育法作为众多教育方法中的一种，不是万能的，也有一定的局限性。比如，如何处理“有痕”与“无痕”的关系？如何从“有痕”逐步过渡到“无痕”？教育过程的“无痕”与教育结果的“有痕”如何内在统一？实施无痕教育法时如何进行有效的观察与检测以及适度的评价？这些问题有待于进一步研究与实践。
四、教学策略
在小学数学教学中实施无痕教育法，可以从以下几方面着手。
（一）“不知不觉中开始”——数学教学内容的整体把握
让学生在不知不觉中开始学习，是无痕教育追寻的基本境界。实施无痕教育法的前提是教师对所教内容的整体把握。小学数学学科的教学内容具有整体性和系统性，每册教科书、每个教学单元、每一节课时、每一个知识点的内容之间都有着内在的联系。教师应该瞻前顾后、迁移渗透，把握所教内容与以前学习内容以及将来学习内容之间的实质性联系，为学生选准合适的认知起点，让学生在不知不觉中开始新知学习。
不知不觉中开始，从教育心理学角度看，是确立合适的学习起点，即明確学生“现在在哪里”。有了对教学内容的整体把握，就有了对学生原有认知与学习状态的准确了解，就有了对学生生活经验与思维体验的适度掌握。有了这样的教学前提，就能够进一步明确把学生“将要带向哪里”以及“如何走向那里”，从而无痕地将学生引向新知的边缘，让学生油然而生对新知学习的需求。
（二）“潜移默化中理解”——儿童学习心理的深度洞察
课堂的本体是儿童的学习，有效的数学教学必然建立在对儿童学习心理深度洞察的基础之上。小学生的认知水平属于皮亚杰的“具体运算思维”阶段，其最大特点是思维离不开具体事物的支持，这也导致小学生的感知觉、观察力和记忆均处于初步发展水平，学习数学的动机和兴趣很不稳定。在这样的前提之下，他们学习数学的过程需要充分借助形象直观的教学手段，充分利用新旧知识的相互作用，以顺应儿童的学习心理，在不露痕迹中获得新知意义。
“教是为了更好地学。”对儿童学习心理规律的深度洞察是实施无痕教育的关键所在。基于儿童学习心理的数学教学，是在儿童学习数学的过程中，尤其在新知理解阶段，在学科元素中融入儿童基点，能够使新知学习更适合儿童的认知发展，为儿童深度理解知识、发展技能和形成能力打下坚实的基础。
（三）“循序渐进中掌握”——学生学习过程的精心组织
学生学习数学的过程，既是在教师引导下的意义建构过程，也是在自身需求发展中的自主建构过程。无痕教育视野下的学生数学学习过程，主要体现为教师精心设计学生的学习进程，从某种意义上说是一种“进”与“退”的艺术。通过适当的“退”和必要的“进”，使学习过程成为学生潜移默化地掌握知识和技能的过程。表面上看，“进”和“退”是一对反义词，然而这两者并不矛盾。在战争中，“以退求进”“以屈求伸”的战略正是体现了退与进、屈与伸的辩证关系。从某种意义上说，“退”是“进”的准备和基础，“进”是“退”的发展与提升。在课堂上，“进”“退”之间体现的是一种行云流水般的从容节奏，是一种水乳交融般的无痕状态。
数学教学中敢于“退”的策略主要表现在三方面：
一是退到学生的生活经验。数学知识常常来源于现实生活。荷兰数学教育家弗赖登塔尔从数学教育的特点出发，提出了“数学现实”的教学原则，即数学来源于现实，扎根于现实，应用于现实。在教学过程中，教师如果能充分利用学生身边的生活现象引入新知，让数学教学符合生活实际、充满生活气息，会使学生对数学有一种亲近感，感到数学与生活同在，数学并不神秘。由此，激起学生探求新知的强烈愿望，调动起学生学习数学的积极心向，使学生成为“自主的思想家”。
二是退到学生的已有旧知。利用学生的旧知引进新知是一种类比迁移的策略。类比是形式逻辑概念，就是类似比较。迁移是教育心理学概念，即将已学过的旧知和与之相联系的新知相比较，使学生通过复习旧知识从而更快地学会新知识。美国心理学家奥苏贝尔曾说过，影响学生学习新知的唯一最重要的是——“学生已经知道了什么”。可见，课始阶段安排适当的旧知复习，能再现学生认知结构中的相关知识经验，激活新旧知识之间的联结点，为新课学习做好铺垫。复习旧知识较之直截了当地讲述新知识，尽管形式上是退了，但学生却更容易获得新知识，则是一种“进”。
三是退到学生的思维起点。数学教学是数学思维活动的教学，小学生的数学思维发展遵循着从形象思维到抽象思维过渡的规律。为使学生的思维得到有效发展，教师在学习新知之初就应该为学生的思维发展寻找合适的起点。对不同年级的学生，教师应根据其年龄特征寻找合宜的思维方式：低年级学生可以多一些操作和活动，以引发动作性思维；中年级学生可以充分利用表象的作用，不断引发形象性思维；高年级学生可以不断引导学生归纳和概括，以逐步发展抽象性思维。
数学教学中善于“进”的策略也主要表现在三方面：
一是进到学生的认知结构。数学教学的本质是学生在教师的引导下能动地组建认知结构，并使自己得到全面发展的过程。知识，一旦形成结构，就具有稳定性和系统性。单一的知识，只是散落的珍珠，而结构化的知识如同美丽的珍珠项链。怎样帮助学生组建完善的认知结构，是教师要研究的关键问题。认知结构是以一定的思维方式为指导构建起来的，故其本身蕴含着思维方法。因此，在教学数学知识时，教师不能只停留在表面，而要提示知识蕴含的方法和思想，提高学生分析、比较、归纳、概括、推理等能力。
二是进到学生的思维深处。“数学是思维的体操”，启迪学生思维，发展智力、培养能力，建立良好的智能结构，是课堂教学的重要目标。这要求教师在教学实践中充分利用课堂中的生成资源，并善于交给学生思维的主动权，让学生在教师精心设计的问题情境中积极地观察、思考、发现、探究、创造，使思维得到有效发展。在课堂进程中，教师要做到层层递进、步步深入，鼓励学生创新求异，对学生的新发现、新观点、新见解及时给予肯定，消除思维定式对学生学习的负面影响，促使学生思维向纵深发展。 三要进到学生的实际应用。数学应用于实际，才会变得有血有肉、富有生气，才能真正让学生体验到学习数学的意义和价值。教师要避免从概念到概念、从书本到书本，善于变数学练习的“机械演练”为“生活应用”，通过实际应用，引导学生用数学的眼光去观察、分析、解决生活中的实际问题，增强对数学价值的体验，强化应用数学的意识。
“进”与“退”的过程，是学生潜移默化地掌握知识技能的过程，是学生不露痕迹地发展思维能力的过程，是学生淡墨无痕地发展数学思想的过程。从这个意义上说，数学教学的智慧就在于教师能在“进”与“退”之间游刃有余。
（四）“春风化雨中提升”——课堂教学艺术的不懈追求
课堂是师生人生中一段重要的生命经历，课堂是充满无限魅力的地方，课堂是学生充分发展的天空。无痕教育理念指导下的数学课堂，是学生享受教师服务的过程，也是学生自主学习、主动发展的过程。在这样的过程中，学生的学习经历是充实快乐的，学习结果是充分有效的，学习的过程是充满智慧的。理想的课堂教学过程，似雪落春泥，悄然入土，孕育和滋润着生命。虽无痕，却有声有色，有滋有味；虽无痕，却如歌如乐，如诗如画。
总之，我们所理解的数学无痕教育，是建立在数学教育的哲学心理学和美学内涵基础上的一种教育境界，实施数学无痕教育，具有独特的实践意义和理论价值。数学无痕教育是让学生在不知不觉中开始学习，在潜移默化中理解知识，在循序渐进中掌握技能，在春风化雨中提升思想。无痕教育，是一种理想的教育，是一种智慧的教育。无痕教育，无声无息，无缝无形；无痕教育，有情有理，有法有度。
五、常见变式
（一）暗示教学法与无痕教学法
“暗示教学理论”也称“洛扎诺夫教学法”，是保加利亚著名的心理学博士乔治·洛扎诺夫在20世纪60～70年代创立的。暗示教学法指通过暗示，建立无意识的心理倾向，激发个人的心理潜力，创造强烈的学习动机，从而提高记忆力、想象力和创造性解决问题的能力，以充分发展自我的一种教学理论和方法。
一是由环境暗示到不知不觉中开始。让学生在不知不觉中开始学习，是无痕教育追寻的基本境界。暗示教学理论认为，暗示是个人和环境之间一个经常性的交流因素，倘若能达到“人——环境”之间的“共振”，人与环境间的不断交流，就能达到最为和谐的境界。许多活动从本质上说都是人们无意识地对外界环境的各种暗示所做出的反应。洛扎诺夫指出，人的可暗示性“是人类个体之中一种普遍的品质。由于它才使人和环境间的无意识关系发生作用”。教学中的环境暗示，指通过营造某种情境、氛围来感染学生，使学生在潜意识的作用下不知不觉地投入学习，主动地参与活动，在无对抗的状态下，乐意、顺利地接受环境的暗示信息，从而达到教育的目的。
二是由活動暗示到潜移默化中理解。活动暗示指通过有目的、有计划地组织不同内容和形式的活动，将教师的意图渗透其中，使学生受到暗示，从而达到预期效果。学生在活动时，往往处于最自然的心理状态，个性特点和行为习惯能够充分地显露出来。此时针对学生的实际情况进行暗示，有利于学生形成主动学习的心理倾向，促成兴趣、态度、能力三者之间的良性循环。《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：“数学活动经验的积累是提高学生数学素养的重要标志。帮助学生积累数学活动经验是数学教学的重要目标，是学生不断经历、体验各种数学活动过程的结果。”由于小学生的认知水平还属于皮亚杰的“具体运算思维”阶段，其感知觉、观察力和记忆均处于初步发展水平，学习动机和兴趣还很不稳定，因此教师需要借助形象直观的活动暗示，充分利用新旧知识之间的相互作用，以顺应儿童的学习心理，让儿童在动手操作、自主实践和合作交流中不露痕迹地获得理解。
三是由语言暗示到循序渐进中掌握。言语的传声传情、灵活生动等特性使其成为教学中不可替代的教学手段。言语的暗示旨在启发学生思维。巧妙的暗示性言语蕴含着启发性与含蓄性的智慧，它因情境而灵活变通，因表达而富含智慧，从而留给学生更多独立思考的时间与空间。在数学课堂教学中，暗示性教学言语的恰当运用能使教学达到“言有尽而意无穷”的艺术境界，能让学生在潜移默化中掌握所学知识。教师要善于运用教学言语引导学生思考，灵活含蓄的言语表达不仅蕴含着教师的智慧，而且更有利于引导学生思考。
数学无痕教育追求让学生在积极主动与潜移默化中获得知识，形成能力，在淡墨无痕和春风化雨中发展思想、培养精神；暗示教学理论提倡在轻松愉悦的学习氛围中达到有意识与潜意识的统一，在消除学生旧暗示中建立新暗示，充分调动学生的无意识心理活动，不断促进学生的生理潜力和心理潜力的发展。两者之间有着诸多的共通之处。
（二）情境教学法与无痕教学法
何谓情境教学？李吉林在《小学语文情境教学——李吉林与青年教师的谈话》一书中这样解释：“情境教学是充分利用形象，创设典型场景，激起学生的学习情绪，把认知活动与情绪活动结合起来的一种教学模式。”李吉林倡导的情境教学与无痕教学法联系颇为密切。
一是有效的生活情境使新课悄然无声地导入。生活是学习的前提，学习是生活的延续。有效的生活情境可以借助学生熟悉的场景，巧妙地链接新旧知识，使新课悄然无声地导入。“生活味”悄悄地加上“数学味”，可以帮助学生主动用数学知识解释生活现象和生活原理。无痕教学法，倡导教师关注生活资源的研发、生活情境的数字化改造、生活现象的数字化提炼等，尤其强调教师在教学设计时结合学情和生活实际，引导学生理解和掌握数学知识。有效的生活情境能使新课悄然无声地进入，学生在不知不觉中就开启新的数学学习之旅。
二是精妙的问题情境使探究情不自禁地展开。对学生的数学学习而言，问题是思维的路标，适切的问题情境有助于唤醒学生的生活经验、问题解决经验和数学活动经验，激活学生已有的知识图式。无痕教学法，要求教师关注问题情境，在研读教材时精心设计问题，以核心问题引领学生探索新知；要求学生带着问题自主学习，倡导“先学后教、以学定教、少教多学”，培养学科关键能力。在实施无痕教学法时，教师创设的问题情境，尽量做到在尊重和理解教材的基础上，开掘学习资源，创生学材。在大问题和小问题之间，以核心问题为引领，通过适切的问题情境，帮助学生积极开展探究活动，不断累积数学活动经验，提高解决问题的能力和水平。
三是适当的虚拟情境，让思维向青草更深处漫溯。人工智能、在线教育、知识付费等新型的方式将彻底改变未来的学习方式。根据认知发展规律和数学学习规律，小学生的思维都是从点状思维阶段开始，逐步向线性、网状、系统思维阶段发展。他们的学习是从已知世界出发，探索未知世界之旅，是超越既有的经验与能力，形成新的经验与能力的一种挑战。因此，无痕教学法注重利用多媒体辅助手段，通过提供适当的虚拟情境，利用在线学习、线上和线下的互动，让学生在虚拟情境中借助数形结合，对数学学习内容高度关注，主动地投人情感，生发问题，促进思维，努力追寻一种“无剑之境”，使数学课堂既承载知识，又润泽文化，传播数学思想。
由此可见，如果适时、适当、适切地创设情境，就能有效地帮助学生理解数学概念，掌握数学公式和法则，发展批判性思维、创新能力、合作精神、交往能力，提高问题解决的能力。学生学得积极主动，聚焦思维过程，主动对知识进行意义建构，发展数学思考，提高学科关键能力。数学的思想和方法就能“无痕”地渗透其间，这样的数学学习成了一段师生愉快的探索之旅、生命之旅。
（徐斌，苏州大学实验学校副校长，全国著名特级教师，中学高级教师。全国小学教育专业委员会理事，江苏省小学数学教学专业委员会常务理事，苏州市小学数学教学专业委员会副理事长，苏州大学基础教育研究院无痕教育研究所所长。江苏省“人民教育家培养工程”培养对象，教育部“国培计划”首批特聘专家。曾获江苏省小学数学优课比赛第一名，全国小学数学创新课评比一等奖。发表论文500余篇，应邀到全国各地讲学500余次。教育事迹在《人民教育》专题报道，《中国教育报》曾七次连载“徐斌教育教学艺术系列报道”。出版专著《追寻无痕教育》《为学生的数学学习服务》及“中国名师”系列教学光盘。）
关键词：无痕教学 典型特征 教学策略
一、方法溯源
“有”与“无”，是一种朴素的辩证法思想，一直是哲学范畴的基本命题。俗话说，从无到有，无中生有，有无相生，都表达了两者之间的相对性与内在统一。无痕，从字面上讲，就是没有痕迹，不留印记，一切如初。“痕”本意指创伤痊愈后留下的疤痕，也泛指斑迹。无痕，常被作为一种美学境界被众多文人墨客所描绘。贾岛《江亭晚望》有诗句：“鸟归沙有迹，帆过浪无痕。”苏轼《与潘郭二生出郊寻春》中写道：“人似秋鸿来有信，事如春梦了无痕。”杜甫的《春夜喜雨》更是描绘了一幅无痕美景：“随风潜入夜，润物细无声。”武侠小说里更有“踏雪无痕”“无招胜有招”的神奇境界。
无痕被用于教育，早已有之。苏霍姆林斯基曾说过：“任何一种教育现象，孩子在其中越少感觉到教育者的意图，它的教育效果就越大。”值得一提的是，徐光等所著的《无痕教育——一位中国妈妈的教育感悟》，苏爱美著的《最好的教育是无痕教育——一位妈妈17年无痕教育的实践》，皆以一个母亲的视角从家庭教育的角度阐述了“无痕教育”是一种至高的教育境界。有些学校也常常把“无痕教育”作为管理追求，如四川成都青羊区成飞中学2006年以来一直倡导“无缝隙管理”，河北唐山师范附小近年来倡导“无痕管理”，江苏南通如东中学李凤老师2009年提出过“无痕语文研究”等。
尽管“教育无痕”常常被人们作为一种高明的教育艺术和理想的教育境界，但检索文献仍不知从什么时候起谁第一个创立了“无痕教育”概念，且目前尚没有系统的理论研究，或许这正是其“无痕”之处。近年来，笔者积极倡导并深入研究“无痕教育”的相关理论与教学实践，先后出版有《追寻无痕教育》《无痕教育》《徐斌与无痕教育》三本专著。2017年，《数学无痕教育的实践研究》获江苏省基础教育教学成果一等奖。2010年，福建教育杂志社举办了第三届全国青年教师风采展示活动之“徐斌与无痕教育”特色教学研讨会。该研讨会在全国范围内产生了一定的影响。
无痕教育，指把教育意图与目的隐蔽起来，通过间接、暗示或迂回的方式，给学生以教育。无痕教育的提出，对丰富现当代教育教学理论，具有一定的理论意义和实践价值。
无痕教育不仅是一种教育方式，更是一种教育思想，是一种教育心理学的规律和原则，是一种教育的美学和哲学境界，是一种对教育本原的追寻。无痕教育法，就是在尊重和理解学生的基础上，遵从教育之序，营造自然愉悦的学习之境，倡导适切的学习之法，追寻最本真的教学境界。
二、相关理论
中外很多著名教育家在谈到教育艺术、教育境界以及德育工作时，常常提到“无痕教育”“教育无痕”等观点。虽然没有专门的教育家系统地提出“无痕教育”的完整理论，但以下思想中均折射出无痕教育的意蕴，为“无痕教学法”的研究提供了丰富的思想源泉。
（一）卢梭的自然主义教育理论
法國教育家卢梭是自然教育思想的代表人物，崇尚自然，主张“回归自然”，据此提出了自然教育理论，其核心是教育必须顺应儿童天性发展的自然历程。卢梭认为，顺应自然的教育必然也是自由的教育，因为人最重要的自然权利就是自由；要尊重儿童的自由，让儿童享有充分自由活动的可能和条件，并在教学过程中采取自然的、自由的教学方法以适应儿童的身心发育水平和个别差异；在儿童期，主要进行感觉教育，不要教给儿童正确的答案，而应该让儿童自己去获得，引导儿童独立解决问题；人的教育和事物的教育必须顺应自然的教育。按照儿童年龄发展的自然进程，他将教育年龄划分为四个阶段，并根据各个阶段儿童身心发展的特点，规定了教育的任务、内容和方法。他创造出了现代意义上的“童年”一词，强调儿童作为自然界中一种生物，应按照他们的自然天性来生活，而不应该违背他们的自然天性。
无痕教育的本质是一种顺应自然、尊崇规律的教育形态。无痕教育强调的就是优化师生关系，顺应儿童的学习习性，在一种自然状态下让儿童快乐地学习和发展。
（二）杜威的民主主义教育理论
美国现代著名的实用主义哲学家和教育家杜威的民主主义理论，既从主观唯心主义的经验论出发来论述教学内容与教学方法问题，又在许多方面表现出辩证法的思想；既强调儿童的“主动作业”，又谈到“分科教学”问题；强调照顾儿童的兴趣与能力，主张“儿童中心主义”；倡导“学校即社会”“教育即生活”，倡导儿童的发展和成长就是教育理想之所在，倡导所有教育活动必须根植于儿童的天性和情感，而不是将精心设计的外部材料强加给儿童。“一切教育都是通过个人参与人类的社会意识而进行的。这个过程几乎是在出生时就在无意识中开始了。”“由于这种不知不觉的教育，个人便渐渐分享人类曾经积累下来的智慧和道德的财富。”这些教育论断与无痕教育的实施策略是相吻合的。
（三）老子的智慧思想
《史记》在“老子韩非子列传”里讲到了《老子》一书的成书过程：“老子修道德，其学以自隐无名为务。居周久之，见周之衰，乃遂去。至关，关令尹喜日：‘子将隐矣，强为我著书。’于是老子乃著书上下篇，言道德之意五千余言而去，莫知其所终。”《道德经》指出：“无，名天地之始；有，名万物之母。”换言之，无是天地形成的本始；有是创生万物的根源。“故有无相生，难易相成，长短相较，高下相倾，音声相和，前后相随。是以圣人处无为之事，行不言之教。”由此可见，最好的教育是体合天道，顺应自然，崇尚无为。
老子哲学大大扩展了中国人思考的空间，改变了中国人思考问题的方法。老子智慧不仅在哲学史上有着世界性地位，对教育的影响也相当深远。尽管《老子》一书通篇未提“教育”二字，但我们可以从中受到无穷启发。无痕教育因此倡导：教师无为，才能无不为。 （四）苏霍姆林斯基的和谐教育观
苏霍姆林斯基指出：“对于孩子来讲，做好的教师是在精神交往中忘记自己是教师而把自己的学生视为朋友、志同道合的那种教师。”“我们把这条规律看成是教育技巧的核心，是能够找到通向孩子心灵之路的基础。”“教育者的教育意图越是隐蔽，就越是能为教育的对象所接受，就越能转化成教育对象自己的内心要求。”这与无痕教育所倡导的理念是一致的。
（五）洛扎诺夫创立的暗示教学理论
保加利亚心理治疗医生、医学博士洛扎诺夫创立的“暗示教学理论”，为无痕教育法的研究提供了直接的支撑性理论。暗示教学的基本定义是：“创造高度的学习动机，建立激发个人心理潜力的倾向，从学生是一个完整的个体出发，在学习交流过程中，力求把各种无意识因素组织起来，使学生的学习成为一种享受，从而大大提高教学效率。”⑥暗示教学遵循三个原则，即：愉快而不紧张，有意识与无意识统一，暗示相互作用。暗示教学是对传统教学的重大冲击，使人们的教育观念发生了根本变化。学习不再是痛苦的折磨，而是愉快的享受。暗示教学理論为无痕教育提供了心理学依据。
除了上面一些教育理论，陶行知的生活教育理论，叶圣陶的“教是为了不需要教”等观点，均为无痕教育法的实践研究提供了丰富的理性土壤。这些教育理论和教育思想，都或多或少涉及无痕教育的基本内涵和实施策略，对开展无痕教育法的研究都具有一定的指导和借鉴意义。
三、典型特征
根据认知学习理论，学习的过程是新的学习内容与学生原有的认知结构相互作用，形成新的认知结构的过程。实施无痕教育法，能让学生不露痕迹地利用原有的认知经验，通过主动建构来获得知识，并通过循序渐进的巩固和由易到难的练习逐步形成技能。因此，无痕教育具有四个方面的典型特征。
（一）实现学习内容与儿童生活经验的有效对接
叶圣陶先生曾借吕叔湘关于“教育更像农业而不像工业”的比喻，提出“受教育的人的确跟种子一样”的著名论断。我想这句话包含两层意思：一是教育就像农业一样需要一个缓慢的生长过程，需要很长的一个周期，而不能像工业产品那样迅速出炉。二是学生的成长不是一个工业产品的加工过程，不能批量生产、整齐划一，而必须像对待农作物一样，让不同的“作物”有不同的生命周期和种植方法。因此，“教育像农业”就是需要教师在教学工作中，春风化雨，顺其自然，不急不躁，从容不迫。
杜威也曾经说过“教育即生长”。“生长”本是生命的特征，生命体的生长是看不出痕迹的，课堂是生命体之间的碰撞与交流，因此“教育即生长”意味着教育本无痕。
在义务教育阶段的数学课程中，许多学习内容都可以在儿童的实际生活中找到背景。因此，数学课堂学习内容的选择应该从学生的生活经验出发，贴近学生的生活现实，并适当借助已有旧知、经验（包括学生的知识经验、问题解决经验、数学活动经验等等），寻找儿童生活现实与数学现实之间的“生长点”，让新知在儿童的心田自然生长出来，使儿童在不知不觉中开始学习之旅，使学习像呼吸一样自然发生。
（二）实现学习方式与儿童认知规律的自然适应
儿童是怎样进行数学学习和思维的？苏联教育家乌申斯基说：“一般说来，儿童是依靠形状、颜色、声音和感觉来进行思维的。”儿童不是成人，也不是小大人，儿童就是儿童，具有独特的年龄特征和认知规律，而数学学科的高度抽象性和严密逻辑性常常使一些儿童过早地失去了对数学的兴趣。因此，无痕教育法倡导教师站在学生学的角度思考“教什么”和“如何教”，寻找适应学生、适合学生的教学方式，多采用直观具体与生动形象的方式，激发学生内在的学习兴趣与学习动机，让学生的各种感官都参与学习，帮助学生在亲历体验中参与知识的形成过程，感悟知识的来龙去脉，在潜移默化中理解数学知识的本质。
（三）实现学习过程与儿童互动交流的高度融合
叶澜教授在《教师——精神上的长途跋涉者》一文中说：“课堂应是向未知方向挺进的旅程，随时都有可能发现意外的通道和美丽的图景，而不是一切都必须遵循固定线路而没有激情的行程。”课堂是教师、学生、环境、教材等各种生态因子互动交往的场所，每一节课都是不可重复的激情与智慧综合生成的过程。在这个过程中，教师随时都有可能遇到各种始料未及的新问题，而这些问题就会催生生命体智慧的碰撞与交流。因此，课堂的最大魅力就在于无法真正预设，无法完全复制和倒回重来，因此充满了生命力，充满了无限可能，具有神秘的美感。学生学习数学的过程应该首先建立在自己实践与思考的基础之上。学生对学习材料有自己独到的感知，教师要根据每个学生的学习基础进行适当的引领和点拨，充分发挥学生之间交往互动与合作交流的作用，注重师生之间、生生之间的对话和交流，让每个学生都能体验成功的喜悦，增强学习自信心，锻炼克服困难的意志，养成良好的学习习惯和意志品质，不断提高自身的数学学科素养。
（四）实现学习历程与儿童素养提升的同步发展
2016年9月13日，随着《中国学生发展核心素养》总体框架的出台，培育和提高学生的学科素养成为一线教师的共识。学生发展核心素养，主要指学生应具备的、能够适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力。从这个意义上说，数学素养应该是数学学科所固有的内蕴特性，是在人的先天基础上，通过后天学习，将所习得的一些必备的数学知识技能、数学思想方法、数学能力、数学观念和数学品质融于身心的一种稳定的心理状态。
学生通过数学课堂不仅获得知识技能，而且要发展思维、感悟思想，更为重要的是，形成终身受用的核心素养。因此，无痕教育理念观照下的数学课堂，教师注重学生的学习历程，善于改造日常的数学课堂，改变传统教学中“以讲为主”、小组合作流于形式等局面，开放教学过程，让学生真正进入“深度学习”的境界。教师善于把学生带进数学乐园，给他们提供足够的探究活动的时间和空间，让他们观察、发现、交流、分享，让他们的学习历程充满了求知的快乐，充满了积极的情感，充满了美好的回忆，让他们的数学思维得以发展和提升，进而为其一生的可持续和全面发展打下坚实的基础。 当然，无痕教育法作为众多教育方法中的一种，不是万能的，也有一定的局限性。比如，如何处理“有痕”与“无痕”的关系？如何从“有痕”逐步过渡到“无痕”？教育过程的“无痕”与教育结果的“有痕”如何内在统一？实施无痕教育法时如何进行有效的观察与检测以及适度的评价？这些问题有待于进一步研究与实践。
四、教学策略
在小学数学教学中实施无痕教育法，可以从以下几方面着手。
（一）“不知不觉中开始”——数学教学内容的整体把握
让学生在不知不觉中开始学习，是无痕教育追寻的基本境界。实施无痕教育法的前提是教师对所教内容的整体把握。小学数学学科的教学内容具有整体性和系统性，每册教科书、每个教学单元、每一节课时、每一个知识点的内容之间都有着内在的联系。教师应该瞻前顾后、迁移渗透，把握所教内容与以前学习内容以及将来学习内容之间的实质性联系，为学生选准合适的认知起点，让学生在不知不觉中开始新知学习。
不知不觉中开始，从教育心理学角度看，是确立合适的学习起点，即明確学生“现在在哪里”。有了对教学内容的整体把握，就有了对学生原有认知与学习状态的准确了解，就有了对学生生活经验与思维体验的适度掌握。有了这样的教学前提，就能够进一步明确把学生“将要带向哪里”以及“如何走向那里”，从而无痕地将学生引向新知的边缘，让学生油然而生对新知学习的需求。
（二）“潜移默化中理解”——儿童学习心理的深度洞察
课堂的本体是儿童的学习，有效的数学教学必然建立在对儿童学习心理深度洞察的基础之上。小学生的认知水平属于皮亚杰的“具体运算思维”阶段，其最大特点是思维离不开具体事物的支持，这也导致小学生的感知觉、观察力和记忆均处于初步发展水平，学习数学的动机和兴趣很不稳定。在这样的前提之下，他们学习数学的过程需要充分借助形象直观的教学手段，充分利用新旧知识的相互作用，以顺应儿童的学习心理，在不露痕迹中获得新知意义。
“教是为了更好地学。”对儿童学习心理规律的深度洞察是实施无痕教育的关键所在。基于儿童学习心理的数学教学，是在儿童学习数学的过程中，尤其在新知理解阶段，在学科元素中融入儿童基点，能够使新知学习更适合儿童的认知发展，为儿童深度理解知识、发展技能和形成能力打下坚实的基础。
（三）“循序渐进中掌握”——学生学习过程的精心组织
学生学习数学的过程，既是在教师引导下的意义建构过程，也是在自身需求发展中的自主建构过程。无痕教育视野下的学生数学学习过程，主要体现为教师精心设计学生的学习进程，从某种意义上说是一种“进”与“退”的艺术。通过适当的“退”和必要的“进”，使学习过程成为学生潜移默化地掌握知识和技能的过程。表面上看，“进”和“退”是一对反义词，然而这两者并不矛盾。在战争中，“以退求进”“以屈求伸”的战略正是体现了退与进、屈与伸的辩证关系。从某种意义上说，“退”是“进”的准备和基础，“进”是“退”的发展与提升。在课堂上，“进”“退”之间体现的是一种行云流水般的从容节奏，是一种水乳交融般的无痕状态。
数学教学中敢于“退”的策略主要表现在三方面：
一是退到学生的生活经验。数学知识常常来源于现实生活。荷兰数学教育家弗赖登塔尔从数学教育的特点出发，提出了“数学现实”的教学原则，即数学来源于现实，扎根于现实，应用于现实。在教学过程中，教师如果能充分利用学生身边的生活现象引入新知，让数学教学符合生活实际、充满生活气息，会使学生对数学有一种亲近感，感到数学与生活同在，数学并不神秘。由此，激起学生探求新知的强烈愿望，调动起学生学习数学的积极心向，使学生成为“自主的思想家”。
二是退到学生的已有旧知。利用学生的旧知引进新知是一种类比迁移的策略。类比是形式逻辑概念，就是类似比较。迁移是教育心理学概念，即将已学过的旧知和与之相联系的新知相比较，使学生通过复习旧知识从而更快地学会新知识。美国心理学家奥苏贝尔曾说过，影响学生学习新知的唯一最重要的是——“学生已经知道了什么”。可见，课始阶段安排适当的旧知复习，能再现学生认知结构中的相关知识经验，激活新旧知识之间的联结点，为新课学习做好铺垫。复习旧知识较之直截了当地讲述新知识，尽管形式上是退了，但学生却更容易获得新知识，则是一种“进”。
三是退到学生的思维起点。数学教学是数学思维活动的教学，小学生的数学思维发展遵循着从形象思维到抽象思维过渡的规律。为使学生的思维得到有效发展，教师在学习新知之初就应该为学生的思维发展寻找合适的起点。对不同年级的学生，教师应根据其年龄特征寻找合宜的思维方式：低年级学生可以多一些操作和活动，以引发动作性思维；中年级学生可以充分利用表象的作用，不断引发形象性思维；高年级学生可以不断引导学生归纳和概括，以逐步发展抽象性思维。
数学教学中善于“进”的策略也主要表现在三方面：
一是进到学生的认知结构。数学教学的本质是学生在教师的引导下能动地组建认知结构，并使自己得到全面发展的过程。知识，一旦形成结构，就具有稳定性和系统性。单一的知识，只是散落的珍珠，而结构化的知识如同美丽的珍珠项链。怎样帮助学生组建完善的认知结构，是教师要研究的关键问题。认知结构是以一定的思维方式为指导构建起来的，故其本身蕴含着思维方法。因此，在教学数学知识时，教师不能只停留在表面，而要提示知识蕴含的方法和思想，提高学生分析、比较、归纳、概括、推理等能力。
二是进到学生的思维深处。“数学是思维的体操”，启迪学生思维，发展智力、培养能力，建立良好的智能结构，是课堂教学的重要目标。这要求教师在教学实践中充分利用课堂中的生成资源，并善于交给学生思维的主动权，让学生在教师精心设计的问题情境中积极地观察、思考、发现、探究、创造，使思维得到有效发展。在课堂进程中，教师要做到层层递进、步步深入，鼓励学生创新求异，对学生的新发现、新观点、新见解及时给予肯定，消除思维定式对学生学习的负面影响，促使学生思维向纵深发展。 三要进到学生的实际应用。数学应用于实际，才会变得有血有肉、富有生气，才能真正让学生体验到学习数学的意义和价值。教师要避免从概念到概念、从书本到书本，善于变数学练习的“机械演练”为“生活应用”，通过实际应用，引导学生用数学的眼光去观察、分析、解决生活中的实际问题，增强对数学价值的体验，强化应用数学的意识。
“进”与“退”的过程，是学生潜移默化地掌握知识技能的过程，是学生不露痕迹地发展思维能力的过程，是学生淡墨无痕地发展数学思想的过程。从这个意义上说，数学教学的智慧就在于教师能在“进”与“退”之间游刃有余。
（四）“春风化雨中提升”——课堂教学艺术的不懈追求
课堂是师生人生中一段重要的生命经历，课堂是充满无限魅力的地方，课堂是学生充分发展的天空。无痕教育理念指导下的数学课堂，是学生享受教师服务的过程，也是学生自主学习、主动发展的过程。在这样的过程中，学生的学习经历是充实快乐的，学习结果是充分有效的，学习的过程是充满智慧的。理想的课堂教学过程，似雪落春泥，悄然入土，孕育和滋润着生命。虽无痕，却有声有色，有滋有味；虽无痕，却如歌如乐，如诗如画。
总之，我们所理解的数学无痕教育，是建立在数学教育的哲学心理学和美学内涵基础上的一种教育境界，实施数学无痕教育，具有独特的实践意义和理论价值。数学无痕教育是让学生在不知不觉中开始学习，在潜移默化中理解知识，在循序渐进中掌握技能，在春风化雨中提升思想。无痕教育，是一种理想的教育，是一种智慧的教育。无痕教育，无声无息，无缝无形；无痕教育，有情有理，有法有度。
五、常见变式
（一）暗示教学法与无痕教学法
“暗示教学理论”也称“洛扎诺夫教学法”，是保加利亚著名的心理学博士乔治·洛扎诺夫在20世纪60～70年代创立的。暗示教学法指通过暗示，建立无意识的心理倾向，激发个人的心理潜力，创造强烈的学习动机，从而提高记忆力、想象力和创造性解决问题的能力，以充分发展自我的一种教学理论和方法。
一是由环境暗示到不知不觉中开始。让学生在不知不觉中开始学习，是无痕教育追寻的基本境界。暗示教学理论认为，暗示是个人和环境之间一个经常性的交流因素，倘若能达到“人——环境”之间的“共振”，人与环境间的不断交流，就能达到最为和谐的境界。许多活动从本质上说都是人们无意识地对外界环境的各种暗示所做出的反应。洛扎诺夫指出，人的可暗示性“是人类个体之中一种普遍的品质。由于它才使人和环境间的无意识关系发生作用”。教学中的环境暗示，指通过营造某种情境、氛围来感染学生，使学生在潜意识的作用下不知不觉地投入学习，主动地参与活动，在无对抗的状态下，乐意、顺利地接受环境的暗示信息，从而达到教育的目的。
二是由活動暗示到潜移默化中理解。活动暗示指通过有目的、有计划地组织不同内容和形式的活动，将教师的意图渗透其中，使学生受到暗示，从而达到预期效果。学生在活动时，往往处于最自然的心理状态，个性特点和行为习惯能够充分地显露出来。此时针对学生的实际情况进行暗示，有利于学生形成主动学习的心理倾向，促成兴趣、态度、能力三者之间的良性循环。《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：“数学活动经验的积累是提高学生数学素养的重要标志。帮助学生积累数学活动经验是数学教学的重要目标，是学生不断经历、体验各种数学活动过程的结果。”由于小学生的认知水平还属于皮亚杰的“具体运算思维”阶段，其感知觉、观察力和记忆均处于初步发展水平，学习动机和兴趣还很不稳定，因此教师需要借助形象直观的活动暗示，充分利用新旧知识之间的相互作用，以顺应儿童的学习心理，让儿童在动手操作、自主实践和合作交流中不露痕迹地获得理解。
三是由语言暗示到循序渐进中掌握。言语的传声传情、灵活生动等特性使其成为教学中不可替代的教学手段。言语的暗示旨在启发学生思维。巧妙的暗示性言语蕴含着启发性与含蓄性的智慧，它因情境而灵活变通，因表达而富含智慧，从而留给学生更多独立思考的时间与空间。在数学课堂教学中，暗示性教学言语的恰当运用能使教学达到“言有尽而意无穷”的艺术境界，能让学生在潜移默化中掌握所学知识。教师要善于运用教学言语引导学生思考，灵活含蓄的言语表达不仅蕴含着教师的智慧，而且更有利于引导学生思考。
数学无痕教育追求让学生在积极主动与潜移默化中获得知识，形成能力，在淡墨无痕和春风化雨中发展思想、培养精神；暗示教学理论提倡在轻松愉悦的学习氛围中达到有意识与潜意识的统一，在消除学生旧暗示中建立新暗示，充分调动学生的无意识心理活动，不断促进学生的生理潜力和心理潜力的发展。两者之间有着诸多的共通之处。
（二）情境教学法与无痕教学法
何谓情境教学？李吉林在《小学语文情境教学——李吉林与青年教师的谈话》一书中这样解释：“情境教学是充分利用形象，创设典型场景，激起学生的学习情绪，把认知活动与情绪活动结合起来的一种教学模式。”李吉林倡导的情境教学与无痕教学法联系颇为密切。
一是有效的生活情境使新课悄然无声地导入。生活是学习的前提，学习是生活的延续。有效的生活情境可以借助学生熟悉的场景，巧妙地链接新旧知识，使新课悄然无声地导入。“生活味”悄悄地加上“数学味”，可以帮助学生主动用数学知识解释生活现象和生活原理。无痕教学法，倡导教师关注生活资源的研发、生活情境的数字化改造、生活现象的数字化提炼等，尤其强调教师在教学设计时结合学情和生活实际，引导学生理解和掌握数学知识。有效的生活情境能使新课悄然无声地进入，学生在不知不觉中就开启新的数学学习之旅。
二是精妙的问题情境使探究情不自禁地展开。对学生的数学学习而言，问题是思维的路标，适切的问题情境有助于唤醒学生的生活经验、问题解决经验和数学活动经验，激活学生已有的知识图式。无痕教学法，要求教师关注问题情境，在研读教材时精心设计问题，以核心问题引领学生探索新知；要求学生带着问题自主学习，倡导“先学后教、以学定教、少教多学”，培养学科关键能力。在实施无痕教学法时，教师创设的问题情境，尽量做到在尊重和理解教材的基础上，开掘学习资源，创生学材。在大问题和小问题之间，以核心问题为引领，通过适切的问题情境，帮助学生积极开展探究活动，不断累积数学活动经验，提高解决问题的能力和水平。
三是适当的虚拟情境，让思维向青草更深处漫溯。人工智能、在线教育、知识付费等新型的方式将彻底改变未来的学习方式。根据认知发展规律和数学学习规律，小学生的思维都是从点状思维阶段开始，逐步向线性、网状、系统思维阶段发展。他们的学习是从已知世界出发，探索未知世界之旅，是超越既有的经验与能力，形成新的经验与能力的一种挑战。因此，无痕教学法注重利用多媒体辅助手段，通过提供适当的虚拟情境，利用在线学习、线上和线下的互动，让学生在虚拟情境中借助数形结合，对数学学习内容高度关注，主动地投人情感，生发问题，促进思维，努力追寻一种“无剑之境”，使数学课堂既承载知识，又润泽文化，传播数学思想。
由此可见，如果适时、适当、适切地创设情境，就能有效地帮助学生理解数学概念，掌握数学公式和法则，发展批判性思维、创新能力、合作精神、交往能力，提高问题解决的能力。学生学得积极主动，聚焦思维过程，主动对知识进行意义建构，发展数学思考，提高学科关键能力。数学的思想和方法就能“无痕”地渗透其间，这样的数学学习成了一段师生愉快的探索之旅、生命之旅。
（徐斌，苏州大学实验学校副校长，全国著名特级教师，中学高级教师。全国小学教育专业委员会理事，江苏省小学数学教学专业委员会常务理事，苏州市小学数学教学专业委员会副理事长，苏州大学基础教育研究院无痕教育研究所所长。江苏省“人民教育家培养工程”培养对象，教育部“国培计划”首批特聘专家。曾获江苏省小学数学优课比赛第一名，全国小学数学创新课评比一等奖。发表论文500余篇，应邀到全国各地讲学500余次。教育事迹在《人民教育》专题报道，《中国教育报》曾七次连载“徐斌教育教学艺术系列报道”。出版专著《追寻无痕教育》《为学生的数学学习服务》及“中国名师”系列教学光盘。）