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中图分类号：G633文献标志码：A文章编号：2095-9214（2016）03-0018-02
课前思考
在数学教学活动中学生要学会的不仅仅是一堂课的内容，更是要学生通过一节课的经历，能够掌握一种完整的研究问题的科学方法。通过这样的一堂课，教师向学生传递了方法和经验，使得学生在今后的学习中，当碰到问题的时候会形成有解决问题的思路和方法，授人以鱼不如授人以渔，这是本节课希望达成的教学效果。
在《三角形的面积》学习前，学生已经充分认识了三角形的特征，掌握了长方形、正方形、平行四边形面积计算，而紧跟其后的内容是梯形、组合图形的面积。《三角形的面积》最大的特点就是要突出实践性、研究性、尤其是要强化学生的动手操作能力，学会完整的研究方法。通过教材，可以看出本课是希望让学生通过一系列的操作研究明白所学图形和已学图形之间的联系，新课前学生不仅要牢固掌握平行四边形的面积，还要熟悉对三角形的特征以及三角形底高相对应。基于探索三角形面积计算公式是本节课的重点，但是如何探索，怎样探索是本课需要突破的难点，本课设计意图旨在学生通过思考，操作，验证获得解决问题的能力，掌握完整的研究方法。
教学过程
课前测试
计算三种平面图形的面积。
1、长方形；2、平行四边形；3、三角形。
班级总人数46人，第一题46名学生全部正确，第二题46人全部正确，第三题13人正确。
设计意图，通过课前测试回顾已学图形的面积，并了解学生对三角形形面积的了解情况。
根据课前的测试，教师沟通总结提升
当平行四边形的一组底和高正好是它的一组相邻的底边时，就成了正方形或者长方形。作为特殊的平行四边形，长方形和正方形的面积事实上也是可以用S=ah来表示。
由此可见，知识之间的联系是非常紧密的（板书：联系），只要找到这些联系，也就发现了数学问题的本质，那么对于进一步的学习便有了依据。这是因为在很多情况下，我们可以通过知识之间的联系，把新学习的知识转化为已有的旧知识来学习。
通过复习我们已经进一步理解了这些平行四边形的面积计算方法，知道平行四边形的面积是和它的底和高有关系，那么今天要学习的三角形的面积和它的底高有怎样的关系呢？
验证（或探索）三角形面积公式
1、探究方法的确定。根据复习铺垫，教师引导提问，三角形的面积如何计算？（生：把三角形也转化成我们会求面积的图形来计算。）
（1）现有水平的呈现。根据课前测试，一部分学生根据公式计算出了三角形的面积，另一部分学生还不知道三角形的面积公式是怎样的形式。
教师提问，你怎么知道三角形的面积=底×高÷2的？
会计算的学生表示只是看到或者听说三角形的面积计算方法，但是对于三角形的面积公式是如何得来的并不清楚。
不会计算三角形面积的学生，提出困惑，三角形的面积该怎么推导出来。
（2）确定研究对象。根据问题，确定要研究的对象，但对象要如何把握，教师引导提问，任意一个三角形面积都能用底×高÷2计算吗？要怎样证明？
学生思考，教师追问，是把每种三角形都研究一遍吗？三角形有无数个，要逐个研究透是需要花较多时间的，有限的时间做无限的事情是不可能的。提出根据三角形角的特征分类，这样只要研究直角三角形、锐角三角形、钝角三角形这三类三角形即可。
为了保证课堂时间，需要大家一起共同完成这个目标。
（3）确定研究形式：合作、分工。研究透三种三角形，课堂时间有限，万一来不及怎么办？按组分工，每组确定准备研究哪类三角形，确定自己要研究的三角形的类型后，到老师那里领取自己需要材料，开始小组分工合作操作。
（4）确定具体的研究方法。教师引导，你们已经选好了要研究的这类三角形，那具体怎么去研究呢？用什么方法来呈现你们的思考过程？
（5）小组讨论
2、动手操作、合作探究
教师ppt呈现合作要求：
（1）独立思考；（2）小组交流，完成实验记录；（3）方法汇总；（4）准备汇报。
实验过程记录组别：姓名：
我们组研究的是三角形，我们组使用（）个（） 的三角形得到（）
小组讨论：拼成的新图形面积和原来三角形面积有什么关系？
请用铅笔和直尺标出你所研究的三角形和得到的新图形的底和高。再研究下面的问题：
a、原三角形的底等于拼成的（）形的（）；
b、原三角形的高等于拼成的（）形的（）；
c、原三角形的面积等于拼成的（）形的（）；
所以我可以得出三角形的面积=
3、思维碰撞，提炼对比。师：我们先请研究锐角三角形的小组介绍他们的方法，看看你能不能听明白为什么三角形面积=底×高÷2？
生1：我们的方法是转化成平行四边形，我们组研究的是锐角三角形，我们组使用两个完全一样的锐角三角形，拼成一个平行四边形；
教师给予表扬和肯定，能不能具体说一说你是怎么转化的？这里要求学生说清楚：是用两个完全一样的三角形拼成了一个平行四边形。
师：师：你的平行四边形和原来的三角形有什么关系？
生2：倍数关系，三角形面积是它所拼成的平行四边形的面积的一半。
师：观察图，平行四边形的底高分别和三角形的底高有什么关系？
生3：三角形的底就是平行四边形的底，三角形的高就是拼成的平行四边形的高，
师：那么三角形面积应该是怎样的？
生4：平行四边形的面积是底乘以高，三角形的面积即底乘以高除以2。 师：为什么除以2？
生5：因为底乘以高只是两个完全一样的三角形拼成的平行四边形的面积，除以2得到的就是所要求得三角形的面积。
生共同得到锐角三角形面积公式：s=ah÷2。
师：直角三角形和钝角三角形有没有相同的研究方法，有的小组直接贴到黑板上进行展示。
师：通过倍拼的办法，我们得出三角形的面积=s=ah÷2。
师：还有其他不同的研究方法吗？
生6：我们研究的是一个锐角三角形，把一个三角形通过割和补也能转化得到平行四边形，如图，原来三角形的底就是平行四边形的底，平行四边形的高是原来三角形高的一半，所以三角形的面积是底乘以（高除以2），也就是底乘以高除以2。
师：你真了不起，这种复杂的过程你都能想到，而且结果正确，非常值得我们大家学习。
生7：还有一种割补法（底÷2），方法同上。
师：有没有用这种方法研究直角三角形和钝角三角形的，有的请直接贴到黑板上，同学们真聪明，想到了很多办法，不管哪种方法、哪类三角形，我们发现它的面积都可以用底×高÷2进行计算，那么现在我们是不是可以下结论：任意一个三角形的面积=底×高÷2是成立的？
生：完全同意。
师：用字母表示，可以写成S=ah÷2。
师课件回顾填空式总结，
在探索三角形的面积时我们使用了转化的思想，将三角形面积转化为平行四边形的面积。在转化的过程中，可以使用两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形来研究，即倍拼法，发现平行四边形的底等于三角形的底，平行四边形的高就是三角形的高，根据平行四边形的面积我们推出，三角形的面积等于底乘以高除以2；
还可以使用一个三角形，转化为平行四边形，即割补法，这个平行四边形的高（底）是三角形的高（底）除以2，平行四边形的底（高）就是三角形的底（高），根据平行四边形的面积我们推出，三角形的面积等于底乘以高除以2。
4、巩固练习
师：知道了公式我们可以怎么用？
生：求面积。只要知道了三角形的底和高就能知道它的面积。
师：还可以知道什么？
生：知道面积和底求高；或者知道面积和高去求底。
师：怎么求？
生：面积乘以2再除以高（底）就得到底（高）。
师：为什么要乘以2.
生：转化为等底等高的平行四边形
师：计算三角形面积。
（1）（2）（3）
生：独立完成
交流答案
师：为什么第（3）题不用5×4÷2计算呢？
生：底高要对应
师：第（3）题中5对应的高是多少？
生：独立计算，交流。
5、课堂回顾总结
师：今天我们研究的是什么？
生：三角形的面积
师：我们是怎么研究的？
生：通过拼、割补、画将新知识转化成旧知识。
师：梯形和圆的面积公式我们还没学过，你觉得可以用什么方法研究？
生：尝试转化为学过的图形面积。
师：你们的猜测对不对呢？等我们下次学习的时候再去探索。
反思
整节课以“转化”的思想贯穿始终，按照有序的研究思路解决问题，在学习三角形的面积之前已经有很多学生会计算，但是仅限于知其然，而整堂课的目的就是在于让学生不仅知其然还要知其所以然。教材目标仅仅是让学生通过拼的方法得到平行四边形，很多情况下教师直接给出学生材料，即两个完全一样的各类三角形让学生探索，但是这种探索前提已经被教师设定好了框架，学生的思维直接被局限，学生也很难再有更多想法的机会。
本节课教师让位学生，通过适时的引导，让学生真正独立的去研究，将大部分的时间花在两部分，一是充裕的思考时间，学生面对要研究的三角形，会产生很多想法，问题难点在于如何转化成学过的平行四边形，以及转化成的平行四边形与原三角形之间有怎样的联系。
教学中，教师要充分的相信学生的合作能力，判断能力，由于是分工合作，组内成员有想法的可以带动想法较为薄弱的，生生互动的效果更优于师生互动的效果，一堂课带给学生的不应该只是一个结论，更重要的是学生亲身体验到获得结论的过程和方法。但也有不足：
首先，本节课的教学目标是经历操作、观察、比较、讨论、归纳等探索活动，体验三角形面积计算公式的推导过程，并能应用公式计算面积；进一步学习用转化的思想方法解决新的问题，发展实践能力，丰富空间观念；培养合作研究、共同发展的学习品质。目标定位让数学学习能力较弱的学生感到吃力。
其次，在操作活动过程中，部分小组是组内人员分别独自研究没有合作的意识，这样的现象源于教师在分组前应明确每一个成员的任务，做到人人有任务，成果是集体的成果。
一节课的整体能够决定是成是败，但是细节之处方能成就精彩，因此在后续或者再次执教本节课，都需要教师继续在细节花上时间和功夫。最后还有一点疑问和困惑，像这样的公式推导课，许多学生在课前就已经知道具体的公式了，在这样的基础之上，该构建怎样的数学逻辑？是遵从学生学习的经验逻辑还是按照教材的知识逻辑来进行呢？
（作者单位：杭州市余杭区乔司中心小学）
课前思考
在数学教学活动中学生要学会的不仅仅是一堂课的内容，更是要学生通过一节课的经历，能够掌握一种完整的研究问题的科学方法。通过这样的一堂课，教师向学生传递了方法和经验，使得学生在今后的学习中，当碰到问题的时候会形成有解决问题的思路和方法，授人以鱼不如授人以渔，这是本节课希望达成的教学效果。
在《三角形的面积》学习前，学生已经充分认识了三角形的特征，掌握了长方形、正方形、平行四边形面积计算，而紧跟其后的内容是梯形、组合图形的面积。《三角形的面积》最大的特点就是要突出实践性、研究性、尤其是要强化学生的动手操作能力，学会完整的研究方法。通过教材，可以看出本课是希望让学生通过一系列的操作研究明白所学图形和已学图形之间的联系，新课前学生不仅要牢固掌握平行四边形的面积，还要熟悉对三角形的特征以及三角形底高相对应。基于探索三角形面积计算公式是本节课的重点，但是如何探索，怎样探索是本课需要突破的难点，本课设计意图旨在学生通过思考，操作，验证获得解决问题的能力，掌握完整的研究方法。
教学过程
课前测试
计算三种平面图形的面积。
1、长方形；2、平行四边形；3、三角形。
班级总人数46人，第一题46名学生全部正确，第二题46人全部正确，第三题13人正确。
设计意图，通过课前测试回顾已学图形的面积，并了解学生对三角形形面积的了解情况。
根据课前的测试，教师沟通总结提升
当平行四边形的一组底和高正好是它的一组相邻的底边时，就成了正方形或者长方形。作为特殊的平行四边形，长方形和正方形的面积事实上也是可以用S=ah来表示。
由此可见，知识之间的联系是非常紧密的（板书：联系），只要找到这些联系，也就发现了数学问题的本质，那么对于进一步的学习便有了依据。这是因为在很多情况下，我们可以通过知识之间的联系，把新学习的知识转化为已有的旧知识来学习。
通过复习我们已经进一步理解了这些平行四边形的面积计算方法，知道平行四边形的面积是和它的底和高有关系，那么今天要学习的三角形的面积和它的底高有怎样的关系呢？
验证（或探索）三角形面积公式
1、探究方法的确定。根据复习铺垫，教师引导提问，三角形的面积如何计算？（生：把三角形也转化成我们会求面积的图形来计算。）
（1）现有水平的呈现。根据课前测试，一部分学生根据公式计算出了三角形的面积，另一部分学生还不知道三角形的面积公式是怎样的形式。
教师提问，你怎么知道三角形的面积=底×高÷2的？
会计算的学生表示只是看到或者听说三角形的面积计算方法，但是对于三角形的面积公式是如何得来的并不清楚。
不会计算三角形面积的学生，提出困惑，三角形的面积该怎么推导出来。
（2）确定研究对象。根据问题，确定要研究的对象，但对象要如何把握，教师引导提问，任意一个三角形面积都能用底×高÷2计算吗？要怎样证明？
学生思考，教师追问，是把每种三角形都研究一遍吗？三角形有无数个，要逐个研究透是需要花较多时间的，有限的时间做无限的事情是不可能的。提出根据三角形角的特征分类，这样只要研究直角三角形、锐角三角形、钝角三角形这三类三角形即可。
为了保证课堂时间，需要大家一起共同完成这个目标。
（3）确定研究形式：合作、分工。研究透三种三角形，课堂时间有限，万一来不及怎么办？按组分工，每组确定准备研究哪类三角形，确定自己要研究的三角形的类型后，到老师那里领取自己需要材料，开始小组分工合作操作。
（4）确定具体的研究方法。教师引导，你们已经选好了要研究的这类三角形，那具体怎么去研究呢？用什么方法来呈现你们的思考过程？
（5）小组讨论
2、动手操作、合作探究
教师ppt呈现合作要求：
（1）独立思考；（2）小组交流，完成实验记录；（3）方法汇总；（4）准备汇报。
实验过程记录组别：姓名：
我们组研究的是三角形，我们组使用（）个（） 的三角形得到（）
小组讨论：拼成的新图形面积和原来三角形面积有什么关系？
请用铅笔和直尺标出你所研究的三角形和得到的新图形的底和高。再研究下面的问题：
a、原三角形的底等于拼成的（）形的（）；
b、原三角形的高等于拼成的（）形的（）；
c、原三角形的面积等于拼成的（）形的（）；
所以我可以得出三角形的面积=
3、思维碰撞，提炼对比。师：我们先请研究锐角三角形的小组介绍他们的方法，看看你能不能听明白为什么三角形面积=底×高÷2？
生1：我们的方法是转化成平行四边形，我们组研究的是锐角三角形，我们组使用两个完全一样的锐角三角形，拼成一个平行四边形；
教师给予表扬和肯定，能不能具体说一说你是怎么转化的？这里要求学生说清楚：是用两个完全一样的三角形拼成了一个平行四边形。
师：师：你的平行四边形和原来的三角形有什么关系？
生2：倍数关系，三角形面积是它所拼成的平行四边形的面积的一半。
师：观察图，平行四边形的底高分别和三角形的底高有什么关系？
生3：三角形的底就是平行四边形的底，三角形的高就是拼成的平行四边形的高，
师：那么三角形面积应该是怎样的？
生4：平行四边形的面积是底乘以高，三角形的面积即底乘以高除以2。 师：为什么除以2？
生5：因为底乘以高只是两个完全一样的三角形拼成的平行四边形的面积，除以2得到的就是所要求得三角形的面积。
生共同得到锐角三角形面积公式：s=ah÷2。
师：直角三角形和钝角三角形有没有相同的研究方法，有的小组直接贴到黑板上进行展示。
师：通过倍拼的办法，我们得出三角形的面积=s=ah÷2。
师：还有其他不同的研究方法吗？
生6：我们研究的是一个锐角三角形，把一个三角形通过割和补也能转化得到平行四边形，如图，原来三角形的底就是平行四边形的底，平行四边形的高是原来三角形高的一半，所以三角形的面积是底乘以（高除以2），也就是底乘以高除以2。
师：你真了不起，这种复杂的过程你都能想到，而且结果正确，非常值得我们大家学习。
生7：还有一种割补法（底÷2），方法同上。
师：有没有用这种方法研究直角三角形和钝角三角形的，有的请直接贴到黑板上，同学们真聪明，想到了很多办法，不管哪种方法、哪类三角形，我们发现它的面积都可以用底×高÷2进行计算，那么现在我们是不是可以下结论：任意一个三角形的面积=底×高÷2是成立的？
生：完全同意。
师：用字母表示，可以写成S=ah÷2。
师课件回顾填空式总结，
在探索三角形的面积时我们使用了转化的思想，将三角形面积转化为平行四边形的面积。在转化的过程中，可以使用两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形来研究，即倍拼法，发现平行四边形的底等于三角形的底，平行四边形的高就是三角形的高，根据平行四边形的面积我们推出，三角形的面积等于底乘以高除以2；
还可以使用一个三角形，转化为平行四边形，即割补法，这个平行四边形的高（底）是三角形的高（底）除以2，平行四边形的底（高）就是三角形的底（高），根据平行四边形的面积我们推出，三角形的面积等于底乘以高除以2。
4、巩固练习
师：知道了公式我们可以怎么用？
生：求面积。只要知道了三角形的底和高就能知道它的面积。
师：还可以知道什么？
生：知道面积和底求高；或者知道面积和高去求底。
师：怎么求？
生：面积乘以2再除以高（底）就得到底（高）。
师：为什么要乘以2.
生：转化为等底等高的平行四边形
师：计算三角形面积。
（1）（2）（3）
生：独立完成
交流答案
师：为什么第（3）题不用5×4÷2计算呢？
生：底高要对应
师：第（3）题中5对应的高是多少？
生：独立计算，交流。
5、课堂回顾总结
师：今天我们研究的是什么？
生：三角形的面积
师：我们是怎么研究的？
生：通过拼、割补、画将新知识转化成旧知识。
师：梯形和圆的面积公式我们还没学过，你觉得可以用什么方法研究？
生：尝试转化为学过的图形面积。
师：你们的猜测对不对呢？等我们下次学习的时候再去探索。
反思
整节课以“转化”的思想贯穿始终，按照有序的研究思路解决问题，在学习三角形的面积之前已经有很多学生会计算，但是仅限于知其然，而整堂课的目的就是在于让学生不仅知其然还要知其所以然。教材目标仅仅是让学生通过拼的方法得到平行四边形，很多情况下教师直接给出学生材料，即两个完全一样的各类三角形让学生探索，但是这种探索前提已经被教师设定好了框架，学生的思维直接被局限，学生也很难再有更多想法的机会。
本节课教师让位学生，通过适时的引导，让学生真正独立的去研究，将大部分的时间花在两部分，一是充裕的思考时间，学生面对要研究的三角形，会产生很多想法，问题难点在于如何转化成学过的平行四边形，以及转化成的平行四边形与原三角形之间有怎样的联系。
教学中，教师要充分的相信学生的合作能力，判断能力，由于是分工合作，组内成员有想法的可以带动想法较为薄弱的，生生互动的效果更优于师生互动的效果，一堂课带给学生的不应该只是一个结论，更重要的是学生亲身体验到获得结论的过程和方法。但也有不足：
首先，本节课的教学目标是经历操作、观察、比较、讨论、归纳等探索活动，体验三角形面积计算公式的推导过程，并能应用公式计算面积；进一步学习用转化的思想方法解决新的问题，发展实践能力，丰富空间观念；培养合作研究、共同发展的学习品质。目标定位让数学学习能力较弱的学生感到吃力。
其次，在操作活动过程中，部分小组是组内人员分别独自研究没有合作的意识，这样的现象源于教师在分组前应明确每一个成员的任务，做到人人有任务，成果是集体的成果。
一节课的整体能够决定是成是败，但是细节之处方能成就精彩，因此在后续或者再次执教本节课，都需要教师继续在细节花上时间和功夫。最后还有一点疑问和困惑，像这样的公式推导课，许多学生在课前就已经知道具体的公式了，在这样的基础之上，该构建怎样的数学逻辑？是遵从学生学习的经验逻辑还是按照教材的知识逻辑来进行呢？
（作者单位：杭州市余杭区乔司中心小学）