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题1:(2010年广东文科卷第21题,14分)已知曲线Cn:y=nx2,点Pn(xn,yn)(xn>0,yn>0)是曲线Cn上的点(n=1,2…).(1)试写出曲线Cn在点Pn处的切线ln的方程,并求出ln与y轴的交点Qn的坐标;(2)若原点O(0,0)到ln的距离与线段PnQn的长度之比取得最大值,试求点Pn的坐标(xn,yn);(3)设m与k为两个给定的不同正整数,xn与yn是满足(2)中条件的点Pn的坐标,
证明-
<-(s=1,2,…).
题2:(2009年广东文科卷第21题,14分)已知二次函数y=g(x)的导函数的图像与直线y=2x平行,且y=g(x)在x=-1处取得最小值m-1(m≠0),设函数f(x)=g(x)/x.(1)若曲线y=f(x)上的点P到点Q(0,2)的距离的最小值为,求m的值;(2)k(k∈R)如何取值时,函数y=f(x)-kx存在零点,并求出零点.
一、得分情况分析
对题1的276109份和题2的266439份答卷进行统计:题1的平均分为1.21分,标准差1.85;题2的平均分为0.71分,标准差1.55.
这两道题考查的知识与技能基本相同,表1列出了各分数段的得分人数及百分比例.1～6分段主要考查基础知识,其中1～3分段考查函数、导函数及直线方程,4～6分段考查距离公式及其运算;而7～14分段重点考查基本技能,其中7～9分段考查函数零点或极值、参数及其运算,10～14分段考查不等式及其求解或证明.
以题2的得分情况为参照,我们从以下5个方面对今年的得分情况进行分析.
1. 作答情况略好于去年.从平均分来看,题1比题2高0.5分,而标准差相差不大,表明学生对压轴题的作答比去年略好.
2. 得分人数大幅增加.题1的得分人数比例上升幅度较大,表现在0分段(即不得分)的人数比例降低了12.41个百分点,而1～3分段和4～6分段的人数比例分别上升了5.785和7.193个百分点.去年得分人数少的原因是,大量的中下层次的考生觉得去年的选择题、填空题和送分大题比较难,没有时间做最后一题.今年则相反.
3. 中上层次的学生基本运算能力较好.4～6分段的人数比例比去年几乎翻了一番.这说明,尽管新课程削弱了繁琐的计算和高技巧的题目,但在知识点及难度大致相同的前提下,中上层次的学生基本运算能力并没有明显降低.这与高三教师重视运算能力的培养密不可分.
4. 数学应用能力有所提高.7～9分段考查学生对数学的探究和推理能力,人数比例上升了约0.5个百分点.这表明数学课程的基本理念,如倡导积极主动、勇于探究的学习方式,让学生不断经历归纳类比、抽象概括、符号表示和运算求解等思维过程方面,已逐步深入人心.
5. 压轴效果更加突出.题1比题2增加了一个小问作为压轴,突出了高考的选拔功能.在10～14分段,题1与题2的得分人数比例分别为0.00652%和0.129%,两者相差约19倍.这一分数段主要考查学生的数学符号感、常量与变量、不等式的求解或证明等知识,考查学生的化归与转化、推理运算和数学探究等能力.全省仅有18名学生得分在10分以上,表明这些知识和能力仍是学生学习中的难点或薄弱环节.
二、典型错误分析
随机选取题1的2450份样卷和题2的5517份样卷,出现的典型错误因素大同小异,可分成四种情形.
1. 数学概念理解不深入.题1中,导函数与函数在某点处的导数是两个不同的概念,导函数f ′(x)是函数f(x)的导数,它仍是一种函数(如果导函数是常数,则可看作是常函数),而函数f(x)在某点(x0,y0)处的导数是用该点横坐标x0代入导函数f′(x)后求得的函数值,它是一个常数,记为f′(x0),且数值上等于曲线上经过该点的切线的斜率.在求切线ln的斜率k时,有两种典型错误:(1)有255份样卷,约占全部样卷的10.41%,认为“因为yn=nxn2,所以k=y′n=2nxn”.殊不知yn是常数,其导数y′n应为零.(2)有210份样卷,约占全部样卷的8.57%,把导函数直接当成切线的斜率,认为k=2nx,明显张冠李戴!对某一固定的n,过曲线上某点(xn,yn)处的切线只有一条,其斜率k应是一个固定的常数2nxn.题2中,由于不清楚什么是函数的零点,也就无法将函数的零点化归为求方程的数值解.函数的零点不是“点”,而是使函数值为零所对应的自变量的数值.
2. 距离计算环节出错.在计算原点O(0,0)到ln的距离d时,结果五花八门.如d=nxn2/、d=nxn2/或d=-nxn2/.原因主要有三:一是运算能力差;二是公式记忆不牢;三是数学素养不够.事实上,点到直线的距离完全可以通过直线与直线的垂直关系和两点间距离公式算得;公式记忆出错是平时只顾死记硬背,而不经历公式的推理运算过程所造成的恶果;这里的距离d为负,突显基本数学素养不足,或数学的元认知能力差,这个不经意的错误使后面的求解或证明全盘皆输.
3. 分类与整合能力差.题1中在去绝对值符号时,没有考虑参数m与k的大小关系.题2中在求解参数m或k时,没有考虑m可大于或小于零,k可等于或不等于1的情形;或者分类正确,却因为存在条件嵌套(如k≠1时又分为判别式等于、大于或小于零)而使整合运算出现遗漏,解题过程不完整.
4. 解题信心不足或时间不够.随机抽取题1的1060份0分样卷,有834份空白卷,占全部样卷的78.67%.同时,随机抽取题2的3283份0分样卷,有2522份空白卷,占全部样卷的76.82%,两者比例基本持平.
此外,题1还突显出学生的数学符号感差,不会“以数的眼光看式子”(何小亚.数学学与教的心理学.华南理工大学出版社,2003),分不清常量与变量,不会将“常数-”从代数式-/2中提取出来,以致分离不出待证不等式1/2<(s=1,2,…).
三、压轴题中的数学思想方法
题1的第(1)问的关键是弄清过曲线上某点处的切线的斜率的概念.对y=nx2求导,得y′=2nx,再以xn代入,得ln的斜率k=2nxn.设第(2)问中的原点O(0,0)到ln的距离与线段PnQn的长度之比为t,对给定的参数n,t=nxn/(1+4n2xn2)是关于xn的函数,可利用基本不等式法、判别式法、导数法等数学思想方法,求得t取最大值时的xn.对第(3)问中的不等式1/2<(s=1,2,…),可利用放缩法、数学归纳法、构造函数法等思想方法进行证明.
题2的第(1)问考查函数导数、直线方程、两点间距离公式、基本不等式等知识,用待定系数法和方程等思想可求出m.第(2)问用化归思想求函数的零点,对学生的分类与整合的思想方法提出了较高要求.
四、研究结论
1. 两道题的综合性程度较高,均考查了均值不等式.题2的难度体现在分类讨论上,而题1的难度体现在解题步骤跨度大上,其绝对难度远在题2之上.
2. 两道题的选拔功能均体现在对数学探究和创新意识的考查上.成功解题的关键是对抽象的数学符号的理解.
3. 作为压轴题,既没有繁琐的计算,也没有偏门的技巧,但形式新颖,符合以问题解决为价值取向的新课程评价理念.
责任编辑 罗 峰
证明-
<-(s=1,2,…).
题2:(2009年广东文科卷第21题,14分)已知二次函数y=g(x)的导函数的图像与直线y=2x平行,且y=g(x)在x=-1处取得最小值m-1(m≠0),设函数f(x)=g(x)/x.(1)若曲线y=f(x)上的点P到点Q(0,2)的距离的最小值为,求m的值;(2)k(k∈R)如何取值时,函数y=f(x)-kx存在零点,并求出零点.
一、得分情况分析
对题1的276109份和题2的266439份答卷进行统计:题1的平均分为1.21分,标准差1.85;题2的平均分为0.71分,标准差1.55.
这两道题考查的知识与技能基本相同,表1列出了各分数段的得分人数及百分比例.1～6分段主要考查基础知识,其中1～3分段考查函数、导函数及直线方程,4～6分段考查距离公式及其运算;而7～14分段重点考查基本技能,其中7～9分段考查函数零点或极值、参数及其运算,10～14分段考查不等式及其求解或证明.
以题2的得分情况为参照,我们从以下5个方面对今年的得分情况进行分析.
1. 作答情况略好于去年.从平均分来看,题1比题2高0.5分,而标准差相差不大,表明学生对压轴题的作答比去年略好.
2. 得分人数大幅增加.题1的得分人数比例上升幅度较大,表现在0分段(即不得分)的人数比例降低了12.41个百分点,而1～3分段和4～6分段的人数比例分别上升了5.785和7.193个百分点.去年得分人数少的原因是,大量的中下层次的考生觉得去年的选择题、填空题和送分大题比较难,没有时间做最后一题.今年则相反.
3. 中上层次的学生基本运算能力较好.4～6分段的人数比例比去年几乎翻了一番.这说明,尽管新课程削弱了繁琐的计算和高技巧的题目,但在知识点及难度大致相同的前提下,中上层次的学生基本运算能力并没有明显降低.这与高三教师重视运算能力的培养密不可分.
4. 数学应用能力有所提高.7～9分段考查学生对数学的探究和推理能力,人数比例上升了约0.5个百分点.这表明数学课程的基本理念,如倡导积极主动、勇于探究的学习方式,让学生不断经历归纳类比、抽象概括、符号表示和运算求解等思维过程方面,已逐步深入人心.
5. 压轴效果更加突出.题1比题2增加了一个小问作为压轴,突出了高考的选拔功能.在10～14分段,题1与题2的得分人数比例分别为0.00652%和0.129%,两者相差约19倍.这一分数段主要考查学生的数学符号感、常量与变量、不等式的求解或证明等知识,考查学生的化归与转化、推理运算和数学探究等能力.全省仅有18名学生得分在10分以上,表明这些知识和能力仍是学生学习中的难点或薄弱环节.
二、典型错误分析
随机选取题1的2450份样卷和题2的5517份样卷,出现的典型错误因素大同小异,可分成四种情形.
1. 数学概念理解不深入.题1中,导函数与函数在某点处的导数是两个不同的概念,导函数f ′(x)是函数f(x)的导数,它仍是一种函数(如果导函数是常数,则可看作是常函数),而函数f(x)在某点(x0,y0)处的导数是用该点横坐标x0代入导函数f′(x)后求得的函数值,它是一个常数,记为f′(x0),且数值上等于曲线上经过该点的切线的斜率.在求切线ln的斜率k时,有两种典型错误:(1)有255份样卷,约占全部样卷的10.41%,认为“因为yn=nxn2,所以k=y′n=2nxn”.殊不知yn是常数,其导数y′n应为零.(2)有210份样卷,约占全部样卷的8.57%,把导函数直接当成切线的斜率,认为k=2nx,明显张冠李戴!对某一固定的n,过曲线上某点(xn,yn)处的切线只有一条,其斜率k应是一个固定的常数2nxn.题2中,由于不清楚什么是函数的零点,也就无法将函数的零点化归为求方程的数值解.函数的零点不是“点”,而是使函数值为零所对应的自变量的数值.
2. 距离计算环节出错.在计算原点O(0,0)到ln的距离d时,结果五花八门.如d=nxn2/、d=nxn2/或d=-nxn2/.原因主要有三:一是运算能力差;二是公式记忆不牢;三是数学素养不够.事实上,点到直线的距离完全可以通过直线与直线的垂直关系和两点间距离公式算得;公式记忆出错是平时只顾死记硬背,而不经历公式的推理运算过程所造成的恶果;这里的距离d为负,突显基本数学素养不足,或数学的元认知能力差,这个不经意的错误使后面的求解或证明全盘皆输.
3. 分类与整合能力差.题1中在去绝对值符号时,没有考虑参数m与k的大小关系.题2中在求解参数m或k时,没有考虑m可大于或小于零,k可等于或不等于1的情形;或者分类正确,却因为存在条件嵌套(如k≠1时又分为判别式等于、大于或小于零)而使整合运算出现遗漏,解题过程不完整.
4. 解题信心不足或时间不够.随机抽取题1的1060份0分样卷,有834份空白卷,占全部样卷的78.67%.同时,随机抽取题2的3283份0分样卷,有2522份空白卷,占全部样卷的76.82%,两者比例基本持平.
此外,题1还突显出学生的数学符号感差,不会“以数的眼光看式子”(何小亚.数学学与教的心理学.华南理工大学出版社,2003),分不清常量与变量,不会将“常数-”从代数式-/2中提取出来,以致分离不出待证不等式1/2<(s=1,2,…).
三、压轴题中的数学思想方法
题1的第(1)问的关键是弄清过曲线上某点处的切线的斜率的概念.对y=nx2求导,得y′=2nx,再以xn代入,得ln的斜率k=2nxn.设第(2)问中的原点O(0,0)到ln的距离与线段PnQn的长度之比为t,对给定的参数n,t=nxn/(1+4n2xn2)是关于xn的函数,可利用基本不等式法、判别式法、导数法等数学思想方法,求得t取最大值时的xn.对第(3)问中的不等式1/2<(s=1,2,…),可利用放缩法、数学归纳法、构造函数法等思想方法进行证明.
题2的第(1)问考查函数导数、直线方程、两点间距离公式、基本不等式等知识,用待定系数法和方程等思想可求出m.第(2)问用化归思想求函数的零点,对学生的分类与整合的思想方法提出了较高要求.
四、研究结论
1. 两道题的综合性程度较高,均考查了均值不等式.题2的难度体现在分类讨论上,而题1的难度体现在解题步骤跨度大上,其绝对难度远在题2之上.
2. 两道题的选拔功能均体现在对数学探究和创新意识的考查上.成功解题的关键是对抽象的数学符号的理解.
3. 作为压轴题,既没有繁琐的计算,也没有偏门的技巧,但形式新颖,符合以问题解决为价值取向的新课程评价理念.
责任编辑 罗 峰