〔关键词〕 数学教学；导函数；奇偶性；充要条件；推
　　 论
　　〔中图分类号〕 G633.6〔文献标识码〕 C
　　〔文章编号〕 1004—0463（2011）04（B）—0080—０1
　　
　　导数作为解决数学问题的有力工具，在求解函数的单调性、极（最）值、切线等问题中有着广泛的应用。近几年的高考中，导数已成为必考内容，而且比重逐年增大.但由于高中阶段对导数的研究不是很深入，理解不是很透彻，因此，运用导数解决上述问题时，学生难以理清内在的逻辑关系，造成一些误解与困惑.下面，本人结合自己的教学经验，对导函数奇偶性的充要条件及推论进行剖析.
　　可导函数f(x)与其导函数f′(x)有如下的结论:
　　定理1f′(x)为奇函数的充要条件是f(x)为偶函数.
　　定理2f′(x)为偶函数的充要条件是存在常数c，使f(x)的图象关于点(0,c)成中心对称.
　　证明：（1）充分性：
　　若f(x)为偶函数，则f(-x)=f(x)，两边求导，由复合函数的求导法则，得
　　f′(-x)(-x)′=f′(x)，即-f′(-x)=f′(x) ，
　　所以f′(-x)=-f′(x),
　　故f′(x)为奇函数.
　　必要性：
　　若f′(x)为奇函数，则f′(-x)+f′(x)=0.
　　设F(x)=f(x)-f(-x)，则
　　F′(x)=f′(x)-[f(-x)]′=f′(x)+f′(-x)=0，
　　于是F(x)为常数函数，设
　　F(x)=f(x)－f(-x)=c ①
　　有F(－x)=f(-x)-f(x)=c②
　　由①+②得c=0，所以F(－x)=f(-x)-f(x)＝0.
　　故f(-x)=f(x)，即f(x)为偶函数.
　　（2）充分性：
　　若存在常数c，使f(x)的图象关于点(0,c)成中心对称，则f(-x)=2c-f(x).对该式两边求导，由复合函数的求导法则，可得f′(-x)(-x)′=-f′(x)，即-f′(-x)=-f′(x)，所以f′(－x)=f′(x),故f(x)为偶函数.
　　必要性：
　　若f′(x)为偶函数，则
　　f′(－x)=f′(x).设F(x)=f(x)+f(－x),则
　　F′(x)=f′(x)+[f(－x)]′=f′(x)-f′(－x)=0，
　　故F（x）为常数函数，于是存在常数2c，使得
　　F（x）=f（x）+f（－x）=2c.
　　从而f(－x)=2c-f(x)，故f(x)的图象关于点(0,c)成中心对称.
　　对于结论（2），若f(0)存在，则c=f(0).
　　这是因为由f(－x)=2c-f(x)恒成立，令x=0 ,得
　　f(0)=c，所以f(－x)=2f(0)-f(x)，即f(－x)-f(0)=-[f(x)-
　　f(0)]，故函数f(x)-f(0)是奇函数.
　　若f(0)=0，则c=0，f(－x)=-f(x).
　　由此可得下面两个推论：
　　推论1 若可导函数f(x)在x=0处有定义，则导函数f′(x)是偶函数的充要条件是f(x)-f(0)为奇函数.
　　推论2 若可导函数f(x)满足f(0)=0，导函数
　　f′(x)是偶函数的充要条件是f(x)为奇函数.