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摘 要：本文分析了矩阵论课程的教学现状，针对矩阵论传统教学方法的弊端进行改进，通过在课堂中引入应用实例，给出了矩阵论理论在图像处理中的具体应用，并借助于MATLAB平台进行了实验仿真。通过教学内容和教学手段的丰富，可以极大的激发学生的学习兴趣，从而有效提高矩阵论课程的教学质量。
关键词：矩阵论;图像处理;教学手段;教学质量
0 引言
目前，许多应用型的本科院校把矩阵论作为理工科专业的重要数学基础课程，该课程全面讲述了线性空间与线性变换、矩阵分解、矩阵分析、矩阵的特征值以及矩阵的广义逆矩阵等相关内容，旨在培养学生利用理论知识解决实际问题的能力[1]。由于矩阵论的理论性比较强，传统的教学模式是以“教师为中心”的单向输出，教师在讲授过程中对其缺乏工程应用的介绍，导致大部分学生认为该课程晦涩难懂，缺乏学习兴趣，难以学以致用。因此，如何使学生多方面了解矩阵论理论的工程应用，从而提高学生的学习兴趣变得尤为重要。
本文主要介绍了矩阵论理论在图像处理中的一些应用，并给出了在MATLAB平台的仿真示例，这样可以使学生对矩阵论理论的实际应用效果感受更加直观，从而增强学生对矩阵论的学习热情，提高学生学以致用的能力。
1 矩阵论理论在图像处理中的应用
数字图像处理技术是采用计算机程序和算法对数字图像进行计算处理，以获得改善图像、目标特征值或实现目标自动识别的技术[2-3]。而矩阵论理论是图像处理的基础，图像在计算机上以矩阵的形式来表现。因此矩阵论理论对于数字图像处理的作用可见一斑。矩阵论理论在图像处理方面的应用主要有以下几个方面：
1.1 奇异值分解（Singular Value Decomposition，SVD）
在现代数值分析中，矩阵的奇异值分解是最有效的工具之一，它是矩阵分析中正规矩阵酉对角化的推广。SVD广泛应用于图像处理领域，利用SVD可以有效提取图像的特征[4]。例如在图像融合中，通过对待融合的源图像进行SVD分解，可以有效获取表征图像特征的特征系数，然后利用某种融合规则（取大或加权平均）对分解系数进行融合，获得融合系数。最后通过对融合系数进行逆变换，可以获得融合图像。
1.2 极大线性无关组
极大线性无关组是在线性空间中拥有向量个数最多的线性无关向量组。一个向量组的极大线性无关组是其最本质的部分，对许多问题的研究起着非常重要的作用。如确定矩阵的秩，讨论线性方程组的基础解系等。简单来讲，极大线性无关组就是“基”。基就如英文里面的26个英文字母，所有的英文句子都是由这组基（26个字母）组成。在图像处理中，小波变换是传统方法中最常用的图像分析工具，因其在时域和空域均有良好的局部化特性，并且还能够对高频部分采取逐步精细的时域或空域取样步长，因此有“数学显微镜”之称[5]。小波变换由一组小波基函数构成，常用的小波基有“haar”小波，“dbN”小波等。基的概念在利用稀疏表示处理图像时得到很好的体现。在稀疏表示处理图像时，主要任务是字典的生成和图像的稀疏分解，这里的分析字典就相当于一组基，图像的稀疏系数就是图像在这组基上的表示。
1.3 主成分分析（Principal Component Analysis，PCA）
主成分分析法是一种用于数据降维的统计方法，其主要思想为：首先借助于正交变换，将其分量相关的原随机向量转化成其分量不相关的新随机向量，即将原随机向量的协方差矩阵变换成对角形矩阵，然后对多维变量系统进行降维处理，使其能在保持一个较高的精度的同时转换成低维变量系统，最后再通过适当价值函数的构造，进一步把低维系统转化成一维系统[5]。在图像处理中，利用PCA对高维数据（如人脸数据）降维，从而提高图像处理的效率。PCA中用到了协方差矩阵，特征值，特征向量，线性表示等知识。特征值是矩阵分析的一个主要特征。图像的局部区域信息可以利用图像结构张量特征值之间的关系来描述，有效获取图像的特征。
1.4 线性空间
线性变换是模式识别领域优化的基础。欧式空间的欧式距离可以用来计算两幅图像之间的相似度或者聚类等。欧式空间也是学习黎曼空间的基础。黎曼空间的Affine-Invariant度量与Log-Euclidean度量非常适合处理协方差矩阵。利用这两种度量方式可以更好的度量图像相似度。
2 基于MATLAB的仿真实例
MATLAB是一款以矩阵为基本数据单位的数学软件，将矩阵运算、数据分析、實现算法以及建模仿真等功能集于一体，具有完备的图像处理功能[6]。利用MATLAB软件对图像处理进行仿真，使学生更加直观和真切的感受图像处理的效果，深刻了解矩阵论理论的应用实践。
图像融合是图像处理的一个重要分支，它是把两个或多个来自不同传感器的图像通过一定算法融合到一幅图像的过程，去除图像冗余信息，提高融合图像的质量，以满足人眼视觉或图像后期处理的需要。图像融合已在军事、遥感、医学、计算机视觉等领域广泛应用。为了使处理结果更加直观，本文以基于小波变换的图像融合的MATLAB仿真实现为实际案例，介绍极大线性无关组的实际应用。其中，软件环境为MATLAB R2010b，硬件环境为Pentium（R）Dual-Core CPU/2.59GHz/1.99 GB，待融合的实验图像均为256×256的多聚焦图像。
2.1 基于小波变换的图像融合过程
首先对待融合源图像进行小波分解得到一个低频子带系数和水平、垂直、对角三个方向的高频子带系数，其中，分解层数为3，小波基为“DBSS（2，2）”;然后采用低频子带系数取平均，高频子带系数绝对值取大的融合策略进行融合，获得融合系数;最后对融合系数进行小波逆变换，获得最终融合图像。
2.2 实验结果
图1（a）是右聚焦图像，图像左侧的“闹钟”模糊，图像右侧的“钟表”清晰。图1（b）是左聚焦图像，图像左侧的“闹钟”清晰，图像右侧的“钟表”模糊。图1（c）是基于小波变换的融合图像结果。从主观视觉上看，基于小波变换的图像融合方法能够将两幅源图像融合成“闹钟”和“钟表”均清晰的图像。融合图像清晰度高，保留了较多纹理和边缘细节信息。
通过真实的仿真实验数据，可以使学生更加直观的评判图像融合质量的好坏。本实例是矩阵论中极大线性无关组的一个典型应用，通过演示基于小波变换的多聚焦图像的融合过程，向学生展示了矩阵论中相关知识点在工程实际中的具体应用，充分调动了学生学习的积极性，增加了课堂教学的趣味性。
3 结论
本文主要立足于如何激发矩阵论课程中学生的学习积极性，进而更好的培养学生利用矩阵论理论解决工程实际问题的能力。本文主要从教学内容与教学手段出发，通过在教学过程中辅以实际应用的案例，在教学手段上搭建虚拟仿真平台，以“矩阵论+图像处理”的方式，为高校教育提供了更多的教学思路。
参考文献：
[1]罗思琴，谌雨章，郭煜玮.工程实践中矩阵论理论教学培养方法研究[J].信息通信，2020（12）：137-139.
[2]张铮，徐超，任淑霞，等.数字图像处理与机器视觉[M].人民邮电出版社，2014（5）：596.
[3]张德丰.数字图像处理（MATLAB版）[M].人民邮电出版社，2015（1）：381.
[4]吴德阳，赵静，汪国平，等.一种基于改进奇异值和子块映射的图像零水印技术[J].光学学报，2020，40（20）：85-97.
[5]林海明，杜子芳.主成分分析综合评价应该注意的问题[J].统计研究，2013，30（8）：25-31
[6]张铮，倪红霞，苑春苗，等.精通Matlab数字图像处理与识别[M].人民邮电出版社，2013（4）：412.
关键词：矩阵论;图像处理;教学手段;教学质量
0 引言
目前，许多应用型的本科院校把矩阵论作为理工科专业的重要数学基础课程，该课程全面讲述了线性空间与线性变换、矩阵分解、矩阵分析、矩阵的特征值以及矩阵的广义逆矩阵等相关内容，旨在培养学生利用理论知识解决实际问题的能力[1]。由于矩阵论的理论性比较强，传统的教学模式是以“教师为中心”的单向输出，教师在讲授过程中对其缺乏工程应用的介绍，导致大部分学生认为该课程晦涩难懂，缺乏学习兴趣，难以学以致用。因此，如何使学生多方面了解矩阵论理论的工程应用，从而提高学生的学习兴趣变得尤为重要。
本文主要介绍了矩阵论理论在图像处理中的一些应用，并给出了在MATLAB平台的仿真示例，这样可以使学生对矩阵论理论的实际应用效果感受更加直观，从而增强学生对矩阵论的学习热情，提高学生学以致用的能力。
1 矩阵论理论在图像处理中的应用
数字图像处理技术是采用计算机程序和算法对数字图像进行计算处理，以获得改善图像、目标特征值或实现目标自动识别的技术[2-3]。而矩阵论理论是图像处理的基础，图像在计算机上以矩阵的形式来表现。因此矩阵论理论对于数字图像处理的作用可见一斑。矩阵论理论在图像处理方面的应用主要有以下几个方面：
1.1 奇异值分解（Singular Value Decomposition，SVD）
在现代数值分析中，矩阵的奇异值分解是最有效的工具之一，它是矩阵分析中正规矩阵酉对角化的推广。SVD广泛应用于图像处理领域，利用SVD可以有效提取图像的特征[4]。例如在图像融合中，通过对待融合的源图像进行SVD分解，可以有效获取表征图像特征的特征系数，然后利用某种融合规则（取大或加权平均）对分解系数进行融合，获得融合系数。最后通过对融合系数进行逆变换，可以获得融合图像。
1.2 极大线性无关组
极大线性无关组是在线性空间中拥有向量个数最多的线性无关向量组。一个向量组的极大线性无关组是其最本质的部分，对许多问题的研究起着非常重要的作用。如确定矩阵的秩，讨论线性方程组的基础解系等。简单来讲，极大线性无关组就是“基”。基就如英文里面的26个英文字母，所有的英文句子都是由这组基（26个字母）组成。在图像处理中，小波变换是传统方法中最常用的图像分析工具，因其在时域和空域均有良好的局部化特性，并且还能够对高频部分采取逐步精细的时域或空域取样步长，因此有“数学显微镜”之称[5]。小波变换由一组小波基函数构成，常用的小波基有“haar”小波，“dbN”小波等。基的概念在利用稀疏表示处理图像时得到很好的体现。在稀疏表示处理图像时，主要任务是字典的生成和图像的稀疏分解，这里的分析字典就相当于一组基，图像的稀疏系数就是图像在这组基上的表示。
1.3 主成分分析（Principal Component Analysis，PCA）
主成分分析法是一种用于数据降维的统计方法，其主要思想为：首先借助于正交变换，将其分量相关的原随机向量转化成其分量不相关的新随机向量，即将原随机向量的协方差矩阵变换成对角形矩阵，然后对多维变量系统进行降维处理，使其能在保持一个较高的精度的同时转换成低维变量系统，最后再通过适当价值函数的构造，进一步把低维系统转化成一维系统[5]。在图像处理中，利用PCA对高维数据（如人脸数据）降维，从而提高图像处理的效率。PCA中用到了协方差矩阵，特征值，特征向量，线性表示等知识。特征值是矩阵分析的一个主要特征。图像的局部区域信息可以利用图像结构张量特征值之间的关系来描述，有效获取图像的特征。
1.4 线性空间
线性变换是模式识别领域优化的基础。欧式空间的欧式距离可以用来计算两幅图像之间的相似度或者聚类等。欧式空间也是学习黎曼空间的基础。黎曼空间的Affine-Invariant度量与Log-Euclidean度量非常适合处理协方差矩阵。利用这两种度量方式可以更好的度量图像相似度。
2 基于MATLAB的仿真实例
MATLAB是一款以矩阵为基本数据单位的数学软件，将矩阵运算、数据分析、實现算法以及建模仿真等功能集于一体，具有完备的图像处理功能[6]。利用MATLAB软件对图像处理进行仿真，使学生更加直观和真切的感受图像处理的效果，深刻了解矩阵论理论的应用实践。
图像融合是图像处理的一个重要分支，它是把两个或多个来自不同传感器的图像通过一定算法融合到一幅图像的过程，去除图像冗余信息，提高融合图像的质量，以满足人眼视觉或图像后期处理的需要。图像融合已在军事、遥感、医学、计算机视觉等领域广泛应用。为了使处理结果更加直观，本文以基于小波变换的图像融合的MATLAB仿真实现为实际案例，介绍极大线性无关组的实际应用。其中，软件环境为MATLAB R2010b，硬件环境为Pentium（R）Dual-Core CPU/2.59GHz/1.99 GB，待融合的实验图像均为256×256的多聚焦图像。
2.1 基于小波变换的图像融合过程
首先对待融合源图像进行小波分解得到一个低频子带系数和水平、垂直、对角三个方向的高频子带系数，其中，分解层数为3，小波基为“DBSS（2，2）”;然后采用低频子带系数取平均，高频子带系数绝对值取大的融合策略进行融合，获得融合系数;最后对融合系数进行小波逆变换，获得最终融合图像。
2.2 实验结果
图1（a）是右聚焦图像，图像左侧的“闹钟”模糊，图像右侧的“钟表”清晰。图1（b）是左聚焦图像，图像左侧的“闹钟”清晰，图像右侧的“钟表”模糊。图1（c）是基于小波变换的融合图像结果。从主观视觉上看，基于小波变换的图像融合方法能够将两幅源图像融合成“闹钟”和“钟表”均清晰的图像。融合图像清晰度高，保留了较多纹理和边缘细节信息。
通过真实的仿真实验数据，可以使学生更加直观的评判图像融合质量的好坏。本实例是矩阵论中极大线性无关组的一个典型应用，通过演示基于小波变换的多聚焦图像的融合过程，向学生展示了矩阵论中相关知识点在工程实际中的具体应用，充分调动了学生学习的积极性，增加了课堂教学的趣味性。
3 结论
本文主要立足于如何激发矩阵论课程中学生的学习积极性，进而更好的培养学生利用矩阵论理论解决工程实际问题的能力。本文主要从教学内容与教学手段出发，通过在教学过程中辅以实际应用的案例，在教学手段上搭建虚拟仿真平台，以“矩阵论+图像处理”的方式，为高校教育提供了更多的教学思路。
参考文献：
[1]罗思琴，谌雨章，郭煜玮.工程实践中矩阵论理论教学培养方法研究[J].信息通信，2020（12）：137-139.
[2]张铮，徐超，任淑霞，等.数字图像处理与机器视觉[M].人民邮电出版社，2014（5）：596.
[3]张德丰.数字图像处理（MATLAB版）[M].人民邮电出版社，2015（1）：381.
[4]吴德阳，赵静，汪国平，等.一种基于改进奇异值和子块映射的图像零水印技术[J].光学学报，2020，40（20）：85-97.
[5]林海明，杜子芳.主成分分析综合评价应该注意的问题[J].统计研究，2013，30（8）：25-31
[6]张铮，倪红霞，苑春苗，等.精通Matlab数字图像处理与识别[M].人民邮电出版社，2013（4）：412.